Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 263

rozdział 4. Rachunek rozniczkowy · temat „\*4.11. Pochodna funkcji złożonej” · 2 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 1

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W każdym podpunkcie podstawiamy wartość $f(x)$ w miejsce argumentu funkcji $g$ .

h(x)=g(f(x))=\sqrt{x^2+4}.

Ponieważ $x^2+4>0$ dla każdego $x$ , mamy $D_h=\mathbb R$ .

h(x)=\sqrt{x^2-1}.

Warunek $x^2-1\ge0$ jest równoważny $x\le-1$ lub $x\ge1$ , więc

D_h=(-\infty;-1]\cup[1;\infty).

h(x)=2\sqrt{x}-4.

Pierwiastek wymaga $x\ge0$ , zatem $D_h=[0;\infty)$ .

h(x)=\frac1{\sqrt{x}}.

Argument musi spełniać $x\ge0$ , a mianownik nie może być zerem. Stąd $D_h=(0;\infty)$ .

Odpowiedź

a) $h(x)=\sqrt{x^2+4}$ , $D_h=\mathbb R$ .

b) $h(x)=\sqrt{x^2-1}$ , $D_h=(-\infty;-1]\cup[1;\infty)$ .

c) $h(x)=2\sqrt{x}-4$ , $D_h=[0;\infty)$ .

d) $h(x)=\frac1{\sqrt{x}}$ , $D_h=(0;\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Stosujemy regułę łańcuchową:

\bigl(u(x)^n\bigr)'=n\,u(x)^{n-1}u'(x).

h'(x)=3(2x^2-1)^2\cdot4x =12x(2x^2-1)^2.

h'(x)=4(x^2-3x)^3(2x-3).

h'(x)=5(3x^2+x)^4(6x+1).

h'(x)=6(4x+6)^5\cdot4 =24(4x+6)^5.

Odpowiedź

a) $h'(x)=12x(2x^2-1)^2$ .

b) $h'(x)=4(2x-3)(x^2-3x)^3$ .

c) $h'(x)=5(6x+1)(3x^2+x)^4$ .

d) $h'(x)=24(4x+6)^5$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem