MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 86

Punkty $C_1$ i $C_2$ leżą na symetralnej podstawy $AB$, czyli na osi $OY$.

Dla pierwszego okręgu $r_1=|S_1A|=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$. Jego punkty na osi $OY$ mają rzędne $2\pm\sqrt{13}$. Aby $S_1$ należał do trójkąta, wybieramy punkt po tej samej stronie prostej $AB$ co środek:

$C_1=(0,2+\sqrt{13}).$

Dla drugiego okręgu $r_2=|S_2A|=\sqrt{3^2+4^2}=5$, więc analogicznie $C_2=(0,4+5)=(0,9)$. Zatem

$|C_1C_2|=9-(2+\sqrt{13})=7-\sqrt{13}.$

a) Symetralna pionowego odcinka $AB$ ma równanie $y=-4$. Dla kolejnych boków otrzymujemy:

$\operatorname{sym}(BC):\ x+3y+10=0,$

$\operatorname{sym}(CD):\ x-2y-10=0.$

Punkt $S=(2,-4)$ spełnia każde z tych trzech równań, więc wszystkie symetralne przecinają się w jednym punkcie.

b) Obliczamy kwadraty odległości od $S$:

$|SA|^2=6^2+(-8)^2=100,\quad |SB|^2=6^2+8^2=100,$

$|SC|^2=0^2+(-10)^2=100,\quad |SD|^2=(-8)^2+6^2=100.$

Wszystkie cztery wierzchołki leżą zatem na okręgu o środku $S$ i promieniu $10$. Każdy bok łamanej $BDAC$ jest więc cięciwą tego okręgu.

Środek okręgu to $S=(-2,-1)$, a promień ma długość $5$. Symetralną podstawy $PQ$ jest prosta $x=-2$, zatem trzeci wierzchołek ma postać $R=(-2,y)$. Z równania okręgu:

$(y+1)^2=25,$

więc $R_1=(-2,4)$ albo $R_2=(-2,-6)$. Ponieważ $|PQ|=8$, otrzymujemy:

$|PR_1|=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5,$

$|PR_2|=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt5.$

Oba położenia spełniają warunki zadania.

Odległość punktu $P$ od okręgu o środku $S$ i promieniu $r$ jest równa $\bigl||PS|-r\bigr|$.

a) $S=(0,0)$, $r=2$, $|PS|=5$, więc $d=3$.

b) $(x-4)^2+(y+3)^2=4$. Mamy $S=(4,-3)$, $r=2$ i $|PS|=2$, więc $d=0$.

c) $(x-1)^2+(y+3)^2=9$. Mamy $S=(1,-3)$, $r=3$ i $|PS|=5$, więc $d=2$.

d) $(x-3)^2+(y-2)^2=25$. Mamy $S=(3,2)$, $r=5$ i $|PS|=\sqrt5$, więc $d=5-\sqrt5$.

Jeżeli dany okrąg ma środek $S$ i promień $R$, to szukany punkt $P$ spełnia

$\bigl||PS|-R\bigr|=d.$

Stąd otrzymujemy okrąg o promieniu $R+d$ oraz, gdy $R-d>0$, drugi okrąg o promieniu $R-d$. Dla $R=d$ drugą częścią zbioru jest sam środek.

a) $S=(0,0)$, $R=2$: promienie wynoszą $1$ i $3$.

b) $S=(0,0)$, $R=1$: pozostaje tylko promień $4$.

c) Dany okrąg ma postać $(x-1)^2+(y+3)^2=16$, więc promienie szukanych okręgów to $2$ i $6$.

d) Dany okrąg ma postać $(x-3)^2+(y+2)^2=4$. Otrzymujemy promień $4$ oraz punkt $S=(3,-2)$.

Z równania $x^2+y^2=40$ i całkowitości współrzędnych dostajemy rozkład $40=2^2+6^2$. Wierzchołkami są więc punkty

$(\pm2,\pm6)\quad\text{oraz}\quad(\pm6,\pm2),$

ze wszystkimi niezależnymi wyborami znaków. Tworzą one ośmiokąt wpisany w kwadrat $[-6,6]\times[-6,6]$. Z kwadratu o polu $12^2=144$ usuwamy cztery narożne trójkąty prostokątne o przyprostokątnych długości $4$:

$P=144-4\cdot\frac{4\cdot4}{2}=144-32=112.$

Okrąg ma środek w początku układu i promień $4$. Prosta $y=x$ tworzy z dodatnią półosią $OX$ kąt $45^\circ$, a prosta $y=\sqrt3x$ kąt $60^\circ$. Kąt środkowy oparty na wskazanym łuku ma więc miarę

$60^\circ-45^\circ=15^\circ=\frac{\pi}{12}.$

Długość łuku jest równa

$l=r\alpha=4\cdot\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3}.$