MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 85

Przecięcia prostej z osiami to $A=(4,0)$ oraz $B=(0,8)$. Trójkąt $OAB$, gdzie $O=(0,0)$, jest prostokątny w $O$. Środek jego okręgu opisanego jest więc środkiem przeciwprostokątnej $AB$:

$$S=(2,4),\qquad r^2=|SO|^2=2^2+4^2=20.$$

Wierzchołek $C$ musi leżeć jednocześnie na danym okręgu i na symetralnej odcinka $AB$.

a) Odcinek $AB$ jest pionowy, więc jego symetralna ma równanie $y=-2$. Po podstawieniu do równania okręgu otrzymujemy $(x+4)^2=100$, skąd $x=-14$ lub $x=6$.

b) Środek odcinka $AB$ to $(3,7)$, a jego symetralna ma równanie $y=x+4$. Przechodzi ona przez środek okręgu $(-1,3)$. Jej przecięcia z okręgiem leżą o wektory $(5,5)$ i $(-5,-5)$ od środka, więc są to $(4,8)$ i $(-6,-2)$.

Uzupełniamy kwadraty:

$$\begin{aligned} \text{a)}&\quad (x+4)^2+(y-3)^2=24,\\ \text{b)}&\quad (x-2)^2+(y-1)^2=0,\\ \text{c)}&\quad (x+1)^2+(y+1)^2=-5,\\ \text{d)}&\quad (x-2)^2+y^2=5. \end{aligned}$$

Równanie okręgu wymaga dodatniego $r^2$. W podpunkcie b) otrzymujemy tylko jeden punkt, a w c) brak punktów rzeczywistych.

Po podzieleniu przez wspólny współczynnik tam, gdzie jest to potrzebne, uzupełniamy kwadraty i dostajemy:

$$\begin{aligned} \text{a)}&\ (x-1)^2+(y+2)^2=5,\\ \text{b)}&\ (x-3)^2+y^2=14,\\ \text{c)}&\ x^2+(y+1)^2=4,\\ \text{d)}&\ (x+4)^2+(y-1)^2=1,\\ \text{e)}&\ (x-\tfrac12)^2+(y+\tfrac12)^2=\tfrac12,\\ \text{f)}&\ (x+1)^2+(y-2)^2=9,\\ \text{g)}&\ (x-5)^2+(y+1)^2=27,\\ \text{h)}&\ (x-5)^2+(y-4)^2=41. \end{aligned}$$

Środek odczytujemy ze znakami przeciwnymi do liczb w nawiasach, a promień jest pierwiastkiem prawej strony.

Mamy $x^2+(y-1)^2=10$. Dla całkowitych współrzędnych liczba $10$ musi być sumą dwóch kwadratów całkowitych. Jedyny rozkład dodatni to $10=1^2+3^2$, z zamianą składników. Dostajemy więc

$$x=\pm1,\ y-1=\pm3 \quad\text{lub}\quad x=\pm3,\ y-1=\pm1.$$

Ze wzoru $P=\pi r^2$ wynika $r^2=\frac{P}{\pi}$. Podstawienie danych daje kolejno

$$r^2=25,\quad \frac{36}{\pi},\quad 50,\quad 0{,}16, \quad \frac{100}{\pi},\quad \pi^2.$$

Wstawiamy te wartości po prawej stronie równania okręgu o podanym środku.

Prosta $12x-5y=0$ ma wektor kierunkowy $(5,12)$ długości $13$. Punkty tej prostej odległe od początku układu o $13$ to zatem

$$S_1=(5,12),\qquad S_2=(-5,-12).$$

Okrąg przechodzi przez $(0,0)$, więc w obu przypadkach ma promień $13$.

Długości boków spełniają

$$|AB|=2\sqrt5,\qquad |AC|=4\sqrt5,\qquad |BC|=10.$$

Najdłuższy jest bok $BC$. Jego środek to $S=(-1,2)$, a promień okręgu o średnicy $BC$ wynosi $5$. Ponadto $|SA|=5$, więc punkt $A$ także leży na tym okręgu. Równoważnie $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(4,2)\cdot(-4,8)=0$, więc kąt $BAC$ jest prosty.

W trójkącie równobocznym punkt przecięcia wysokości jest zarazem środkiem okręgu opisanego, więc $S=M=(4,3)$. Punkt ten dzieli wysokość w stosunku $2:1$, licząc od wierzchołka. Ponieważ $K$ jest środkiem boku, $|MK|=2$ stanowi jedną trzecią wysokości. Promień okręgu opisanego stanowi dwie trzecie wysokości, zatem

$$R=2|MK|=4.$$