MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 48

Najpierw stosujemy wzor na tangens sumy do $(\alpha+\beta)+\gamma$:

$$\operatorname{tg}(\alpha+\beta+\gamma)= \frac{\operatorname{tg}(\alpha+\beta)+\operatorname{tg}\gamma} {1-\operatorname{tg}(\alpha+\beta)\operatorname{tg}\gamma}.$$

Podstawiamy

$$\operatorname{tg}(\alpha+\beta)= \frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta} {1-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$$

i mnozymy licznik oraz mianownik przez $1-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta$. Po uporzadkowaniu otrzymujemy licznik

$$\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta+\operatorname{tg}\gamma- \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}\gamma$$

oraz mianownik

$$1-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta- \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\gamma- \operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}\gamma.$$

a) Poniewaz $\frac\pi2<3<\pi$, mamy $\sin3>0$ i $\cos3<0$. Zatem

$$\sin6-2\cos3=2\cos3(\sin3-1)>0,$$ $$2\sin3-\sin6=2\sin3(1-\cos3)>0.$$

b) Poniewaz $\pi<4<\frac{3\pi}{2}$, mamy $\sin4<0$, $\cos4<0$ i $\sin4>-1$. Stad

$$\sin8-2\sin4=2\sin4(\cos4-1)>0,$$ $$-2\cos4-\sin8=-2\cos4(1+\sin4)>0.$$

Niech $u=\sin^2x\cos^2x$. Z nierownosci $4u\le(\sin^2x+\cos^2x)^2=1$ wynika $u\in[0;\frac14]$.

a)

$$\sin^4x+\cos^4x=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2u=1-2u,$$

wiec wartosc nalezy do $[\frac12;1]$.

b)

$$\sin^6x+\cos^6x=(\sin^2x+\cos^2x)^3-3u(\sin^2x+\cos^2x)=1-3u,$$

wiec wartosc nalezy do $[\frac14;1]$.

Niech $l$ oznacza dlugosc drabiny. Jej odleglosci poziome od sciany wynosza kolejno $l\cos\alpha$ i $l\cos\beta$. Przesuniecie dolnego konca daje

$$p=l(\cos\beta-\cos\alpha),$$

wiec $l=\frac{p}{\cos\beta-\cos\alpha}$. Roznica wysokosci parapetow jest rowna

$$d=l\sin\alpha-l\sin\beta =p\frac{\sin\alpha-\sin\beta}{\cos\beta-\cos\alpha}.$$

Dla $\alpha=60^\circ$, $\beta=30^\circ$ licznik i mianownik ulamka sa rowne $\frac{\sqrt3-1}{2}$.

a) Korzystamy z $\sin3x=3\sin x-4\sin^3x$ i $\cos3x=4\cos^3x-3\cos x$. Licznik jest rowny $3\sin x\cos^2x$, a mianownik $3\cos x\sin^2x$, wiec iloraz to $\operatorname{ctg}x$.

b)

$$\operatorname{ctg}\frac x2-\operatorname{tg}\frac x2=2\operatorname{ctg}x,$$

zatem lewa strona wynosi $\frac12\sin x\cos x=\frac14\sin2x$.

c) Prawa strona upraszcza sie do $2\cos x(1+\cos x)=1+2\cos x+\cos2x$.

d)

$$\frac1{\cos2x}-\frac1{\operatorname{ctg}2x} =\frac{1-\sin2x}{\cos2x} =\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x},$$

co jest rowne $\frac{\cos(45^\circ+x)}{\cos(45^\circ-x)}$.