MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 265

Ze skanu strony 265 odczytujemy punkty zwrotne $(-1,0)$, $(1,2)$ i $(3,0)$. Wykres opada z $+\infty$ do pierwszego minimum, rośnie do maksimum, ponownie opada do drugiego minimum i rośnie do $+\infty$.

Z tabeli wynika, że wykres rośnie do punktu $(0,0)$, potem maleje do $(8,-4)$ i dalej rośnie. Punkt $(0,0)$ jest maksimum lokalnym, $(8,-4)$ minimum lokalnym, natomiast $(12,0)$ jest zwykłym punktem rosnącej gałęzi, w którym $f'(12)=9/4$. Na krańcach mamy odpowiednio $f(x)\to-\infty$ i $f(x)\to+\infty$.

a) $f'(x)=-3x(x+2).$ Funkcja maleje na $(-\infty,-2]$, rośnie na $[-2,0]$ i maleje na $[0,\infty)$. Ma minimum $f(-2)=0$ i maksimum $f(0)=4$; ponadto $f(x)=-(x-1)(x+2)^2$, więc jej zera to $-2$ (podwójne) i $1$.

b) $f(x)=(x^2-2)^2,\qquad f'(x)=4x(x^2-2).$ Funkcja maleje na $(-\infty,-\sqrt2]$ i $[0,\sqrt2]$, rośnie na $[-\sqrt2,0]$ i $[\sqrt2,\infty)$. Minima to $f(\pm\sqrt2)=0$, a maksimum lokalne $f(0)=4$.

a) Dziedzina to $\mathbb R$, funkcja jest nieparzysta i ma asymptotę poziomą $y=0$. Ponieważ $f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2},$ maleje na $(-\infty,-1]$ i $[1,\infty)$ oraz rośnie na $[-1,1]$. Minimum to $f(-1)=-1/2$, maksimum $f(1)=1/2$, a wykres przechodzi przez $(0,0)$.

b) Funkcja jest parzysta, ma zera $\pm1$ i asymptotę poziomą $y=-1$. Pochodna $f'(x)=\frac{-4x}{(x^2+1)^2}$ jest dodatnia dla $x<0$ i ujemna dla $x>0$, więc maksimum wynosi $f(0)=1$.

Przejście od $f(x)$ do $f(x-3)+2$ przesuwa cały wykres o wektor $[3,2]$. Ze skanu strony 265 funkcja $f$ ma maksimum $(-1,1)$ i minimum $(1,-1)$, więc $g$ ma odpowiednio maksimum $(2,3)$ i minimum $(4,1)$. Kierunki monotoniczności nie zmieniają się, lecz ich granice przesuwają się o $3$.

Mamy $f'(x)=x(x-2)(x+2).$ Funkcja ma minima $f(\pm2)=-3$, maksimum lokalne $f(0)=1$ i dąży do $+\infty$ dla $x\to\pm\infty$. Liczbę rozwiązań równania $f(x)=m$ odczytujemy więc jako liczbę przecięć wykresu z prostą poziomą $y=m$.