MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 264

Niech $a,b$ będą przyprostokątnymi, a $c$ przeciwprostokątną. Z wzoru na promień okręgu wpisanego $\frac{a+b-c}{2}=1,$ czyli $a+b=c+2$. Ponadto $(a+b)^2=c^2+2ab,$ stąd $ab=2c+2$. Warunek $ab\leq(a+b)^2/4$ daje $2c+2\leq\frac{(c+2)^2}{4},$ a zatem $c\geq2+2\sqrt2$. Równość zachodzi dla $a=b$, wtedy $a=b=2+\sqrt2,\qquad c=2+2\sqrt2.$

Wymiary mają postać $2t,3t,xt$. Z warunku sumy $t=1/(x+5)$, więc $V(x)=\frac{6x}{(x+5)^3},\qquad x>0.$ Pochodna ma znak wyrażenia $5-2x$, zatem maksimum wypada dla $x=5/2$. Wówczas $V\left(\frac52\right)=\frac8{225}\ \mathrm{m^3}.$

Punkty skrajne to $A=(-1,1)$ i $C=(2,4)$. Prosta $AC$ ma równanie $y=x+2$. Długość $AC$ wynosi $3\sqrt2$, a odległość punktu $B=(a,a^2)$ od tej prostej to $\frac{a+2-a^2}{\sqrt2},$ bo $-1<a<2$. Pole trójkąta jest więc równe $P(a)=\frac32(a+2-a^2).$ Parabola ma wierzchołek dla $a=1/2$, gdzie $P=27/8$.

Okrąg ma promień $1$. Niech połowa krótszej podstawy ma długość $t\in(0,1)$; jej długość to $2t$, a wysokość trapezu $\sqrt{1-t^2}$. Pole wynosi $P(t)=(1+t)\sqrt{1-t^2}.$ Równanie $P'(t)=0$ po uproszczeniu daje $1-t-2t^2=0,$ zatem $t=1/2$. Na końcach pole jest mniejsze, więc krótsza podstawa ma długość $2t=1$.

Niech $a$ będzie bokiem sześciokątnej podstawy, a $h$ wysokością. Z objętości $\frac{3\sqrt3}{2}a^2h=36$ otrzymujemy $h=8\sqrt3/a^2$. Pole całkowite ma postać $S(a)=3\sqrt3a^2+6ah=3\sqrt3a^2+\frac{48\sqrt3}{a}.$ Warunek $S'(a)=0$ daje $a^3=8$, czyli $a=2$ i $h=2\sqrt3$. Przekątna ściany bocznej wynosi $\sqrt{a^2+h^2}=\sqrt{4+12}=4\ \mathrm{cm}.$

Jeśli $\alpha=\angle AOB$, to dwa boki trójkąta mają długość $r$, więc $P=\frac12r^2\sin\alpha\leq\frac12r^2.$ Równość zachodzi dla $\alpha=90^\circ$.

Kwadrat odległości punktu $(x,x^2)$ od $P(0,a)$ to $D(x)=x^2+(x^2-a)^2.$ Mamy $D'(x)=2x(1+2x^2-2a).$ Dla $a\leq1/2$ jedynym punktem krytycznym jest $x=0$ i daje on minimum. Dla $a>1/2$ pojawiają się punkty $x=\pm\sqrt{a-\frac12}.$ W nich $D=a-1/4$, podczas gdy $D(0)=a^2$; różnica $(a-1/2)^2$ jest dodatnia, więc oba nowe punkty są najbliższe.

Pracujemy w decymetrach. Niech bok podstawy będzie równy $x$, a wysokość $h=12/x^2$. Jeśli jednostkowy koszt materiału podstawy wynosi $1$, to jednostkowy koszt ścian wynosi $1/3$. Koszt jest proporcjonalny do $K(x)=x^2+\frac13\cdot4xh=x^2+\frac{16}{x}.$ Równanie $K'(x)=2x-16/x^2=0$ daje $x=2$; wtedy $h=3$.

Niech dodatnie przecięcia z osiami mają współrzędne $(u,0)$ i $(0,v)$. Prosta ma postać $x/u+y/v=1$, a warunek przejścia przez $(1,2)$ daje $\frac1u+\frac2v=1,\qquad v=\frac{2u}{u-1},\quad u>1.$ Pole trójkąta wynosi $P(u)=\frac{uv}{2}=\frac{u^2}{u-1}.$ Pochodna ma znak $u-2$, więc minimum jest dla $u=2$, wtedy $v=4$.

Niech dodatnie odcięte na osiach mają długości $u,v$. Warunek przejścia przez $(4,1)$ ma postać $\frac4u+\frac1v=1,\qquad v=\frac{u}{u-4},\quad u>4.$ Minimalizujemy $S(u)=u+\frac{u}{u-4}.$ Równanie $S'(u)=1-4/(u-4)^2=0$ daje $u=6$, a wtedy $v=3$.