MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 22

a) Punkty zwrotne sinusa w tym przedziale mają odcięte $-\frac{5\pi}{2}$ i $-\frac{3\pi}{2}$. Między kolejnymi punktami zwrotnymi kierunek monotoniczności jest stały.

b) Dla cosinusa punktami zwrotnymi w zadanym przedziale są $0$ i $\pi$. Po lewej stronie zera i po prawej stronie $\pi$ funkcja rośnie, a pomiędzy nimi maleje.

a) Oś symetrii jest pionową prostą przechodzącą w połowie między odciętymi punktów $A$ i $B$:

$$x=\frac12\left(\frac\pi3+\frac{32\pi}{3}\right)=\frac{11\pi}{2}.$$

Ponieważ $\sin\frac{11\pi}{2}=-1$, punkt przecięcia ma współrzędne $\left(\frac{11\pi}{2},-1\right)$.

b) Środek symetrii jest środkiem odcinka $AB$. Wartości cosinusa w punktach $A$ i $B$ są przeciwne, więc jego rzędna wynosi $0$, a odcięta

$$\frac12\left(-\frac{32\pi}{3}+\frac{41\pi}{3}\right)=\frac{3\pi}{2}.$$

Sprowadzamy końce przedziałów modulo $2\pi$ i sprawdzamy, czy wewnątrz leżą argumenty ekstremów.

a) Przedział obejmuje argument sinusa o wartości $-1$ oraz argument o wartości $1$.

b) Po redukcji otrzymujemy przedział od $\frac\pi6$ do $\frac{7\pi}{6}$; minimum wynosi $-1$, a maksimum na lewym końcu $\frac{\sqrt3}{2}$.

c) Na odcinku od $\frac{5\pi}{4}$ do $\frac{7\pi}{4}$ sinus osiąga $-1$, a na obu końcach $-\frac{\sqrt2}{2}$.

d) Przedział obejmuje zarówno maksimum, jak i minimum cosinusa.

Rozwiązujemy równania, a potem wybieramy argumenty z $\langle3\pi;5\pi\rangle$.

a) $4\sin x+1=3$, więc $\sin x=\frac12$. Otrzymujemy $\frac{25\pi}{6}$ i $\frac{29\pi}{6}$, których suma wynosi $9\pi$.

b) Równanie upraszcza się do $\cos x=1$, stąd jedyne rozwiązanie to $4\pi$.

c) $7\cos x=0$, więc rozwiązaniami są $\frac{7\pi}{2}$ i $\frac{9\pi}{2}$.

d) $4\sin x=4$, więc jedynym rozwiązaniem jest $\frac{9\pi}{2}$.

Liczby całkowite w przedziale $\langle3\pi;5\pi\rangle$ to $10,11,12,13,14,15$. Nierówność

$$\sin x>\cos x$$

jest spełniona dla $x\in(\frac\pi4+2k\pi;\frac{5\pi}{4}+2k\pi)$. Spośród wymienionych liczb należą do tych przedziałów $10$, $14$ i $15$.

I. Liczba $10\pi\approx31{,}416$ leży w $\langle31;32\rangle$ i jest miejscem zerowym sinusa, więc zdanie jest fałszywe.

II. $315-100\pi\in(0;\frac\pi2)$, zatem $\cos315>0$ — zdanie prawdziwe.

III. W przedziale $\langle9;10\rangle$ leży minimum cosinusa dla $x=3\pi$, więc funkcja najpierw maleje, a potem rośnie — zdanie fałszywe.

IV. Żadna liczba $\frac\pi2+2k\pi$ nie leży w $\langle99;100\rangle$, więc sinus nie osiąga tam $1$ — zdanie fałszywe.

W przedziale $\langle0;2n\pi\rangle$ sinus zeruje się dla $x=k\pi$, czyli w $2n+1$ punktach. Cosinus zeruje się w $2n$ punktach.

Całkowite wartości sinusa i cosinusa to tylko $-1$, $0$ i $1$. Dla sinusa oprócz $2n+1$ zer mamy po $n$ maksimów i minimów. Dla cosinusa jest $n+1$ maksimów, $n$ minimów i $2n$ zer. W obu przypadkach suma wynosi $4n+1$.