MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 21

Na przedziale $\langle-\pi;\pi\rangle$ wykres sinusa przechodzi kolejno przez punkty $(-\pi,0)$, $(-\frac\pi2,-1)$, $(0,0)$, $(\frac\pi2,1)$ i $(\pi,0)$. Odczytujemy z niego poziomy wskazane w poleceniu.

Na przedziale $\langle-\pi;\pi\rangle$ wykres cosinusa przechodzi przez $(-\pi,-1)$, $(-\frac\pi2,0)$, $(0,1)$, $(\frac\pi2,0)$ i $(\pi,-1)$. Symetria względem osi $OY$ daje po dwa argumenty dla każdej z podanych wartości.

a) Przedział zawiera punkty $x=\frac{7\pi}{2}$ i $x=\frac{9\pi}{2}$. W pierwszym sinus przyjmuje $-1$, a w drugim $1$.

b) Punkt $x=-4\pi$ należy do przedziału i $\cos(-4\pi)=1$. W przedziale nie ma punktu, w którym cosinus jest równy $-1$; najmniejsza wartość występuje na prawym końcu:

a) Z równania $\sin x=\cos x$ otrzymujemy $\operatorname{tg}x=1$, zatem $x=\frac\pi4+k\pi$. W zadanym przedziale odpowiada to czterem wartościom.

b)

Wyrażenie jest ujemne między kolejnymi miejscami zerowymi zgodnie ze znakiem sinusa. Po przecięciu tych przedziałów z $\langle-2\pi;2\pi\rangle$ dostajemy trzy części rozwiązania.

Korzystamy z okresu $2\pi$ i kątów wzorcowych.

a) $\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}$ dla $x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi$ lub $x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi$.

b) $\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$ dla $x=2k\pi\pm\frac\pi4$.

c) $\cos x=\frac12$ dla $x=2k\pi\pm\frac\pi3$.

d) Miejsca zerowe sinusa mają postać $x=k\pi$. W każdym przypadku wybieramy tylko wartości z podanego przedziału.

Miejsca zerowe sinusa to $k\pi$, a cosinusa $\frac\pi2+k\pi$, gdzie $k\in\mathbb Z$. Zliczamy wartości należące do każdego domkniętego przedziału.

a) $k=-3,-2,\ldots,3$ — $7$ liczb.

b) Trzy odpowiednie nieparzyste wielokrotności $\frac\pi2$.

c) Od $\frac{15\pi}{2}$ do $\frac{33\pi}{2}$ — $10$ liczb.

d) $k=0,1,2,3,4$, ponieważ $4\pi<15<5\pi$.

a) W otoczeniu $\pi$ sinus zmienia znak, ponieważ $\pi$ jest jego miejscem zerowym. Cosinus jest po obu stronach $\pi$ ujemny. Zatem funkcją $f$ jest sinus.

b)

Zatem funkcją $f$ jest cosinus.

Porównujemy argumenty z $\frac\pi2\approx1{,}57$ i $\pi\approx3{,}14$.

a) $3\in(0;\pi)$, więc $\sin3>0$.

b) $1\in(0;\frac\pi2)$, więc $\cos1>0$.

c) $2\in(\frac\pi2;\pi)$, więc $\cos2<0$.

d) $\frac32\in(0;\frac\pi2)$, więc $\cos\frac32>0$.

a) W jednym okresie $\sin x=\frac12$ dla $x=\frac\pi6$ i $x=\frac{5\pi}{6}$. Po przesunięciu o $2\pi$ mniejszym rozwiązaniem w zadanym przedziale jest $\frac{13\pi}{6}$.

b) Rozwiązania $\cos x=\frac{\sqrt3}{2}$ mają postać $2k\pi\pm\frac\pi6$. Pierwsza wartość należąca do $\langle10;15\rangle$ to $4\pi-\frac\pi6=\frac{23\pi}{6}$.