MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 149

Pierwszy zestaw ma sumę $30$ i średnią $30/5=6$. Dopisanie liczby nie zmieni średniej dokładnie wtedy, gdy dopisana liczba jest równa dotychczasowej średniej, czyli $x=6$.

Suma cen sześciu akcji wynosi $6\cdot500=3000\ \mathrm{zł}$. Skoro pięć kosztowało łącznie $2300\ \mathrm{zł}$, szósta kosztowała

Dla odpowiedzi $a=12$ uporządkowany zestaw ma postać $4,8,12,16,21,25.$ Jego mediana wynosi $\frac{12+16}{2}=14$. Pozostałe podane wartości nie spełniają tego warunku.

Dla $x=6$ liczby mają wartości $7,13,22,1$. Po uporządkowaniu otrzymujemy $1,7,13,22$, a ich mediana to $\frac{7+13}{2}=10.$ Pozostałe podane dodatnie wartości nie dają mediany $10$.

Początkowo mediana i dominanta wynoszą $4$. Po dopisaniu ocen $2,2$ uporządkowany zestaw ma $13$ elementów: jego środkowym, siódmym elementem jest $3$, natomiast ocena $2$ występuje cztery razy i staje się dominantą. Zmieniają się więc obie miary.

Średnia arytmetyczna liczb $4,5,6,7,8$ wynosi $6$. Warunek na średnią ważoną daje $\frac{4\cdot4+5\cdot2+6\cdot3+7x+8\cdot2}{4+2+3+x+2}=6.$ Stąd $60+7x=66+6x$, czyli $x=6$.

Korzystamy ze wzoru $\sigma^2=\frac1n\sum x_i^2-\overline{x}^{\,2}.$ Dla $n=10$, $\overline{x}=4$ i $\sigma^2=1{,}5$ mamy $1{,}5=\frac1{10}\sum x_i^2-16.$ Zatem $\sum x_i^2=10(17{,}5)=175.$

Z warunku na średnią suma wszystkich danych wynosi $7\cdot9=63$, zatem $a+b=63-41=22$. Wariancja jest równa $14$, więc suma kwadratów odchyleń od średniej wynosi $7\cdot14=98$. Pięć znanych liczb daje już $25+4+16+36+1=82.$ Musi więc zachodzić $(a-9)^2+(b-9)^2=16.$ Warunki te wraz z $a<b$ spełniają $a=9$ i $b=13$.