MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 9

Wyłączamy wspólny czynnik $x$: a) $x(x-7)=0$; b) $3x(2x+5)=0$; c) $x(9-8x)=0$; d) $x(1-\frac14x)=0$; e) $x(\sqrt6-3x)=0$; f) $x(\sqrt6x-3)=0$. Z zasady iloczynu zerowego przyrównujemy każdy czynnik do zera.

Rozpoznajemy kwadraty i różnice kwadratów: a) $(x-\frac12)^2=0$; b) $(2x+3)^2=0$; c) $2(x-\sqrt3)^2=0$; d) $(x-7)(x+7)=0$; e) $(x-\frac13)(x+\frac13)=0$; f) $(4x-5)(4x+5)=0$; g) $(\sqrt2-x)(\sqrt2+x)=0$; h) $(3-2x)(3+2x)=0$.

Stosujemy różnicę kwadratów. Otrzymujemy: a) $(x-4)(x+2)=0$; b) $(3x-6)(3x+4)=0$; c) $(x+5-\sqrt5)(x+5+\sqrt5)=0$; d) $(-2)(16x)=0$; e) $(-\frac13x-1)(\frac53x-1)=0$; f) $(-x-8)(5x+4)=0$.

W postaci $a(x-x_1)(x-x_2)$ pierwiastki zerują kolejne czynniki. Przepisujemy tylko czynniki c) i d) jako $x-(\sqrt2-1)$, $x-(1-\sqrt5)$ oraz $x-\pi$, $x-(\pi-2)$.

Wyznaczamy rzeczywiste miejsca zerowe i zachowujemy współczynnik wiodący: a) zera $2,-3$; b) zera $-1,4$; c) wyłączamy $2x$; d) korzystamy z różnicy kwadratów. W e) $\Delta=-4<0$, więc nad $\mathbb R$ postać iloczynowa nie istnieje. W f) trójmian jest pełnym kwadratem.

Równanie można pomnożyć przez dowolną niezerową stałą bez zmiany pierwiastków. Dobieramy ją tak, aby współczynnik przy $x^2$ był równy podanemu $a$: a) mnożymy przez $4$; b) przez $-2$; c) przez $3$; d) przez $-1$.

Szukany punkt ma postać $(x,2x)$. Podstawienie daje $2x=9x^2-44x+5$, czyli $9x^2-46x+5=0$. Ponieważ $\Delta=1936=44^2$, mamy $x=\frac19$ lub $x=5$; następnie liczymy $y=2x$.