MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 10

Przyrównujemy wyrażenia. a) $n^2-13n+40=0$, więc $n=5,8$; b) $2n^2-17n+30=0$, więc $n=\frac52,6$, z czego naturalna jest tylko $6$; c) $n^2+14n+45=0$, więc $n=-9,-5$ i żaden nie jest naturalny; d) po rozwinięciu obu stron otrzymujemy tożsamość $n^2-4n+4=n^2-4n+4$.

Z osią $OY$ wykres przecina się dla $x=0$, a z osią $OX$ w miejscach zerowych. Rozkłady i pierwiastki to: a) $(x-\frac14)^2$; b) $x=-3\pm\sqrt6$; c) $(2x-1)(x+6)$; d) $x=-1\pm\sqrt7$.

Sprowadzamy równania do trójmianów. a) Dla $6x^2+5x-4=0$ mamy $\Delta=121$. b) $x^2-7x-8=(x+1)(x-8)$. c) Wyróżnik równania wynosi $27$. d) $x^2+10x+21=(x+7)(x+3)$. e) $x^2+7x-60=(x+12)(x-5)$. f) Po redukcji dostajemy $x^2+49{,}96x-2=(x+50)(x-0{,}04)=0$.

Usuwamy mianowniki i redukujemy wyrazy. Otrzymujemy kolejno: a) $x^2+3x-18=0=(x+6)(x-3)$; b) $13x^2-13=0$; c) po rozwinięciu $x^2-2=0$; d) lewa strona upraszcza się do $x(x-1)$, prawa do $-x$, zatem $x^2=0$.

Wyłączamy wspólny czynnik: a) $(x-5)(3x-12)=0$; b) $(4-3x)(5x+3)=0$; c) $(2x-1)(x+8)=0$. W d) mamy $(4\sqrt2-2x)=-\sqrt2(\sqrt2x-4)$, więc całe wyrażenie to $(\sqrt2x-4)(-x-\sqrt2)$.

Pierwszą parabolę zapisujemy jako $y=2(x-3)^2+5$, więc wszystkie jej punkty mają $y\ge5$. Druga ma postać $y=-3(x+2)^2+1$, zatem $y\le1$. Każda prosta pozioma $y=k$ dla $1<k<5$ omija obie parabole; dotyczy to $y=4$ i na przykład $y=3$.

Zrównujemy wzór prostej i paraboli, a potem stosujemy $|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$. a) punkty $(0,2),(2,0)$; b) $(2,-11),(10,-3)$; c) $(4,12),(7,3)$; d) $(-2,-8),(2,4)$.