MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 35

Korzystamy z równości $(\sqrt u)^2=u$, pamiętając o warunku $u\ge0$.

a) Dziedzina: $x\ge0$. Równanie upraszcza się do

$$-x^2+2x+8=0,$$

czyli $(x-4)(x+2)=0$. Spośród liczb $4$ i $-2$ do dziedziny należy tylko $4$.

b) Dziedzina: $x\ge1$. Mamy

$$x^2-4(x-1)-9=x^2-4x-5=(x-5)(x+1)=0.$$

Warunek dziedziny spełnia tylko $x=5$.

c) Dziedzina: $x\le5$. Po uproszczeniu:

$$x^2-3(5-x)+17=x^2+3x+2=(x+1)(x+2)=0.$$

Oba rozwiązania, $-2$ i $-1$, należą do dziedziny.

d) Dziedzina: $x\ge2$. Otrzymujemy ponownie $x^2+3x+2=0$, którego pierwiastki $-2$ i $-1$ nie należą do dziedziny.

a) Podstawiamy $t=\sqrt[3]{x}$. Otrzymujemy

$$t(2t+1)=\frac14-\frac34t,$$ $$8t^2+7t-1=0,$$ $$(8t-1)(t+1)=0.$$

Zatem $t=\frac18$ lub $t=-1$. Ponieważ $x=t^3$, mamy $x=\frac1{512}$ lub $x=-1$.

b) Niech $t=\sqrt{4x^2+1}$. Zawsze $t\ge1$. Równanie przyjmuje postać

$$(t-1)^2=\frac t2,$$ $$2t^2-5t+2=(2t-1)(t-2)=0.$$

Wartość $t=\frac12$ jest niedopuszczalna, pozostaje $t=2$. Stąd

$$\sqrt{4x^2+1}=2,$$

czyli $4x^2=3$ i $x=\pm\frac{\sqrt3}{2}$.

W każdym podpunkcie przyrównujemy prawe strony równań, wyznaczamy $x$, a następnie obliczamy $y$.

a) $2x^2=6x$, więc $2x(x-3)=0$. Dostajemy $(0,0)$ i $(3,18)$.

b) $x^2+100=20x$, czyli $(x-10)^2=0$. Jedynym rozwiązaniem jest $(10,200)$.

c) $\sqrt2x^2=\sqrt6x$, zatem $\sqrt2x(x-\sqrt3)=0$. Otrzymujemy $(0,0)$ i $(\sqrt3,3\sqrt2)$.

d) $x^2+5=x+5$, czyli $x(x-1)=0$. Rozwiązania to $(0,5)$ i $(1,6)$.

e) $-x^2+5=10x+30$, więc $(x+5)^2=0$. Otrzymujemy $(-5,-20)$.

f) $x+1=3x-x^2$, czyli $(x-1)^2=0$. Otrzymujemy $(1,2)$.

Obie wartości bezwzględne są nieujemne. Ich suma jest równa zero dokładnie wtedy, gdy obie są równe zero:

$$\begin{cases} 2x+3-y=0,\\ y+x^2-2x-8=0. \end{cases}$$

Z pierwszego równania $y=2x+3$. Po podstawieniu do drugiego:

$$2x+3+x^2-2x-8=0,$$ $$x^2-5=0.$$

Zatem $x=\pm\sqrt5$, a odpowiadające wartości $y$ są równe $2x+3$.

Dla pierwszej prostej rozwiązujemy

$$x^2+4x+2=-2x-3,$$

czyli $(x+5)(x+1)=0$. Punkty przecięcia to $(-5,7)$ i $(-1,-1)$, zatem

$$|AB|=\sqrt{4^2+(-8)^2}=4\sqrt5.$$

Dla drugiej prostej mamy

$$x^2+4x+2=x+6,$$

czyli $(x+4)(x-1)=0$. Punkty przecięcia to $(-4,2)$ i $(1,7)$, więc

$$|CD|=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt2.$$

Stosunek długości wynosi

$$\frac{|AB|}{|CD|}=\frac{4\sqrt5}{5\sqrt2}=\frac{2\sqrt{10}}5.$$

Punkty wspólne wykresów spełniają równanie

$$5x-2=x^2+4x-2.$$

Po redukcji otrzymujemy

$$x^2-x=x(x-1)=0,$$

więc pierwsze współrzędne punktów przecięcia to $x_1=0$ i $x_2=1$. Odpowiadające im drugie współrzędne obliczamy ze wzoru $y=5x-2$:

$$y_1=-2,\qquad y_2=3.$$

Obie wymagane sumy są równe:

$$x_1+x_2=0+1=1,$$ $$y_1+y_2=-2+3=1.$$

Wykresy przecinają się w dwóch różnych punktach i zachodzi żądana równość. Teza została wykazana.

Współrzędne punktów wspólnych wyznaczamy z równań $f(x)=g(x)$.

a)

$$(x+6)^2-3=-(x+5)^2+2$$

prowadzi do $(x+7)(x+4)=0$. Dla $x=-7$ i $x=-4$ otrzymujemy odpowiednio $y=-2$ i $y=1$.

b)

$$x^2-8x+13=-x^2+4x+3$$

daje $(x-1)(x-5)=0$. Odpowiednie wartości to $y=6$ oraz $y=-2$.

c) Po przyrównaniu wzorów i pomnożeniu przez $2$ mamy

$$x^2-2x-3=(x+1)(x-3)=0.$$

Dla obu argumentów $-1$ i $3$ wartość funkcji wynosi $-1$.

d)

$$x^2-2x+2=-\frac13x^2+2x+2$$

upraszcza się do $\frac43x(x-3)=0$. Otrzymujemy punkty $(0,2)$ i $(3,5)$.

a) Z równania $-x^2=x^2-4x$ otrzymujemy $2x(x-2)=0$. Punkty $(0,0)$ i $(2,-4)$ są dwoma punktami przecięcia parabol.

b) Równość $x^2+2x=-x^2-4x$ daje $2x(x+3)=0$. Parabole przecinają się w punktach $(0,0)$ i $(-3,3)$.

c) Po przyrównaniu wzorów otrzymujemy

$$2x^2-4x+5=0.$$

Wyróżnik jest równy $-24$, więc układ jest sprzeczny, a parabole nie mają punktów wspólnych.

d) Równanie $(x+2)^2=-x^2+2$ prowadzi do $2(x+1)^2=0$. Jest jeden punkt wspólny $(-1,1)$, więc parabole są w nim styczne.

e) Po redukcji otrzymujemy $\frac23(x+3)^2=0$. Jedyny punkt wspólny to $(-3,-2)$; parabole są w nim styczne.

f) Dla $t=(x+1)^2$ równość wykresów daje $t=4$. Stąd $x=-3$ lub $x=1$, a w obu przypadkach $y=-4$. Parabole mają dwa punkty wspólne.

Najpierw wyznaczamy punkty wspólne parabol:

$$x^2+2x-2=-x^2-4x+6,$$ $$x^2+3x-4=(x+4)(x-1)=0.$$

Dla $x=-4$ mamy $y=6$, a dla $x=1$ mamy $y=1$. Końcami przekątnej są więc $A=(-4,6)$ i $C=(1,1)$.

Środek kwadratu, czyli środek tej przekątnej, ma współrzędne

$$S=\left(-\frac32,\frac72\right).$$

Połowa wektora $\overrightarrow{AC}$ jest równa $\left(\frac52,-\frac52\right)$. Po obrocie o $90^\circ$ otrzymujemy wektor $\left(\frac52,\frac52\right)$. Dodając go do $S$ i odejmując od $S$, dostajemy pozostałe wierzchołki:

$$S+\left(\frac52,\frac52\right)=(1,6),$$ $$S-\left(\frac52,\frac52\right)=(-4,1).$$