MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 34

a) $\Delta=(-7)^2-4\cdot1\cdot(-8)=81$, więc

$$x=\frac{7\pm9}{2}\in\{-1,8\}.$$

b) $\Delta=5^2-4\cdot6\cdot(-4)=121$, stąd

$$x=\frac{-5\pm11}{12}\in\left\{-\frac43,\frac12\right\}.$$

c) $\Delta=3^2-4\cdot(-5)\cdot(-7)=-131<0$, zatem równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

d) $\Delta=(-2)^2-4\cdot4\cdot(-1)=20$, więc

$$x=\frac{2\pm2\sqrt5}{8}=\frac{1\pm\sqrt5}{4}.$$

e) $4x^2-12x+9=(2x-3)^2$, zatem $x=\frac32$.

f) $x^2+2\sqrt3x+3=(x+\sqrt3)^2$, zatem $x=-\sqrt3$.

a) Wyłączamy $x$ przed nawias:

$$x(\sqrt2x-4)=0,$$

zatem $x=0$ lub $x=2\sqrt2$.

b) $x(1-0{,}1x)=0$, więc $x=0$ lub $x=10$.

c) Równość $x^2=-9$ nie ma rozwiązania rzeczywistego.

d) $\sqrt2(x^2-2)=0$, czyli $x=\pm\sqrt2$.

e) Korzystamy z różnicy kwadratów:

$$(2x-1)^2-(x+4)^2=(x-5)(3x+3)=0,$$

więc $x=5$ lub $x=-1$.

f) Po pomnożeniu równania przez $-4$ otrzymujemy

$$2(x-3)^2+x(x-3)=(x-3)(3x-6)=0,$$

stąd $x=2$ lub $x=3$.

Miejsca zerowe spełniają równanie

$$(m-1)x^2+2mx+3m-2=0.$$

Najpierw rozpatrujemy $m=1$. Równanie jest wtedy liniowe: $2x+1=0$, więc funkcja ma jedno miejsce zerowe.

Dla $m\ne1$ równanie jest kwadratowe. Jego wyróżnik wynosi

$$\Delta=(2m)^2-4(m-1)(3m-2) =-4(2m-1)(m-2).$$

Zatem:

• $\Delta<0$ dla $m<\frac12$ lub $m>2$ — brak miejsc zerowych;
• $\Delta=0$ dla $m\in\left\{\frac12,2\right\}$ — jedno miejsce zerowe;
• $\Delta>0$ dla $\frac12<m<2$, z wyjątkiem liniowego przypadku $m=1$ — dwa miejsca zerowe.

a) Miejsca zerowe trójmianu to $\frac13$ i $\frac52$. Współczynnik przy $x^2$ jest ujemny, więc trójmian jest nieujemny między pierwiastkami.

b)

$$-4x^2+28x-49=-(2x-7)^2.$$

Wyrażenie jest nieujemne tylko wtedy, gdy kwadrat jest równy zero, czyli dla $x=\frac72$.

c)

$$-x^2+6x-11=-(x-3)^2-2<0$$

dla każdego $x\in\mathbb R$.

d) Miejsca zerowe $4x^2-17x+4$ to $\frac14$ i $4$. Parabola jest skierowana w górę, a nierówność jest ostra, więc wybieramy przedziały zewnętrzne bez końców.

e)

$$x^2-\sqrt8x+2=(x-\sqrt2)^2,$$

zatem wyrażenie jest dodatnie poza $x=\sqrt2$.

f) Wyróżnik trójmianu jest ujemny:

$$\Delta=\frac1{16}-\frac4{15}=-\frac{49}{240}<0.$$

Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, trójmian jest zawsze dodatni i nierówność $<0$ nie ma rozwiązań.

Po przeniesieniu wszystkich wyrazów na lewą stronę i rozłożeniu trójmianów otrzymujemy:

a)

$$x^2+9x-10=(x+10)(x-1)>0,$$

więc $x<-10$ lub $x>1$.

b)

$$3x^2+4x-15=(3x-5)(x+3)\le0,$$

zatem $-3\le x\le\frac53$.

c)

$$x^2+4x+4=(x+2)^2\ge0,$$

co jest prawdziwe dla każdego $x$.

d)

$$10x^2-29x+10=10\left(x-\frac25\right)\left(x-\frac52\right)>0,$$

więc $x<\frac25$ lub $x>\frac52$.

e)

$$4x^2+17x-15=(4x-3)(x+5)\ge0,$$

zatem $x\le-5$ lub $x\ge\frac34$.

f)

$$4x^2-5x-9=(4x-9)(x+1)<0,$$

więc $-1<x<\frac94$.

Pod pierwiastkiem musi znajdować się liczba nieujemna, natomiast wyrażenie pod pierwiastkiem w mianowniku musi być dodatnie.

a) $(x-3)(x+1)\ge0$, więc $x\le-1$ lub $x\ge3$.

b) $-3x^2-5x+2\ge0$. Miejsca zerowe to $-2$ i $\frac13$, a parabola jest skierowana w dół, więc $-2\le x\le\frac13$.

c) $(2x-1)(x-7)>0$, zatem $x<\frac12$ lub $x>7$.

d) $6-5x-4x^2>0$. Miejsca zerowe to $-2$ i $\frac34$, więc $-2<x<\frac34$.

e) Warunki dla obu pierwiastków to

$$x(x-9)\ge0\quad\text{oraz}\quad(x-3)(x+3)\ge0.$$

Ich część wspólna to $x\le-3$ lub $x\ge9$.

f) Pierwszy mianownik wymaga $-5<x<6$, a drugi $x<-1$ lub $x>2$. Po przecięciu zbiorów dostajemy $(-5;-1)\cup(2;6)$.

Dla $k\ne1$ nierówność jest spełniona dokładnie między liczbami $1$ i $k$.

Jeżeli $k>1$, czterema rozwiązaniami całkowitymi muszą być $2,3,4,5$. Dzieje się tak wtedy i tylko wtedy, gdy

$$5<k\le6.$$

Jeżeli $k<1$, czterema rozwiązaniami całkowitymi muszą być $-3,-2,-1,0$. Otrzymujemy warunek

$$-4\le k<-3.$$

Dla $k=1$ iloczyn $(x-1)^2$ nie jest ujemny, więc nie ma czterech rozwiązań całkowitych.

a) $x^4=625=5^4$, więc $x=\pm5$.

b) $x^4=\frac{16}{81}=\left(\frac23\right)^4$, zatem $x=\pm\frac23$.

c) Po pomnożeniu przez $2$ i redukcji otrzymujemy

$$x^4-7x^2+12=0.$$

Podstawiamy $t=x^2\ge0$. Równanie $(t-3)(t-4)=0$ daje $t=3$ lub $t=4$, czyli $x=\pm\sqrt3$ lub $x=\pm2$.

d) Po przeniesieniu wyrazów:

$$x^4-7x^2-18=0.$$

Dla $t=x^2\ge0$ mamy $(t-9)(t+2)=0$. Dopuszczalne jest tylko $t=9$, więc $x=\pm3$.

a) $x^6=\frac18=\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^6$, więc $x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$.

b) Ponieważ $0{,}1^4=10^{-4}$, mamy

$$x^8=10^{-8}=\left(\frac1{10}\right)^8,$$

zatem $x=\pm\frac1{10}$.

c)

$$x^3(64x^3-1)=0,$$

więc $x=0$ lub $x^3=\frac1{64}$, czyli $x=\frac14$.

d) $x^8=81=(\sqrt3)^8$, zatem $x=\pm\sqrt3$.

e)

$$4x^2-12|x|+9=(2|x|-3)^2=0,$$

stąd $|x|=\frac32$ i $x=\pm\frac32$.

f) Podstawiamy $t=|x|\ge0$. Równanie przyjmuje postać

$$t^2-8t+15=(t-3)(t-5)=0.$$

Zatem $|x|=3$ lub $|x|=5$, czyli $x\in\{-5,-3,3,5\}$.