MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 206

Kąt $AOB$ jest kątem środkowym opartym na łuku $AB$, a kąt $ACB$ jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku. Zatem $\angle ACB=\frac12\angle AOB=61^\circ$.

Bok trójkąta równobocznego ma długość $a=\frac{24\sqrt3}{3}=8\sqrt3$ cm. Jego promień okręgu opisanego wynosi $R=\frac{a}{\sqrt3}=8$ cm. Długość okręgu jest równa $2\pi R=16\pi$ cm.

Przeciwprostokątna równoramiennego trójkąta prostokątnego ma długość $6\sqrt2\cdot\sqrt2=12$ cm. Jest średnicą okręgu opisanego, więc $R=6$ cm, a długość okręgu wynosi $2\pi R=12\pi$ cm.

Sprawdzamy twierdzenie Pitagorasa:

Trójkąt jest więc prostokątny, a bok długości $55$ cm jest przeciwprostokątną. Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środkiem przeciwprostokątnej, zatem leży na tym boku.

Kąty środkowe wyznaczają łuki $AB$ o mierze $120^\circ$ i $BC$ o mierze $90^\circ$. Są dwa różne ustawienia punktów $A,C$ względem $B$.

Gdy łuki $AB,BC$ są kolejne, trzeci łuk ma $150^\circ$. Kąty trójkąta, będące połowami łuków leżących naprzeciw, mają miary $45^\circ,60^\circ,75^\circ$.

Gdy punkty $A,C$ leżą po tej samej stronie promienia $OB$, mniejszy kąt $AOC$ ma $30^\circ$, a odpowiedni kąt trójkąta opiera się na łuku większym. Otrzymujemy $15^\circ,45^\circ,120^\circ$.

Trójkąty równoboczne wpisane w okręgi są podobne, a ich skala liniowa jest równa stosunkowi promieni okręgów, czyli $3$. Pola figur podobnych pozostają w stosunku kwadratów skali: $3^2=9$.

W trójkącie ostrokątnym środek $O$ okręgu opisanego leży wewnątrz trójkąta. Łączymy $O$ z wierzchołkami $A,B,C$. Ponieważ $OA=OB=OC$ są promieniami, trójkąty $AOB$, $BOC$ i $COA$ są równoramienne. Ich sumą jest cały trójkąt $ABC$, więc żądany podział istnieje.

Środek okręgu przechodzącego przez ustalone punkty $A,B$ musi leżeć na symetralnej odcinka $AB$. Jej punkt przecięcia z daną prostą $m$ wyznacza środek $O$, a więc jeden okrąg przechodzący przez $A,B$. Trzeci wierzchołek $C$ można wybrać w dowolnym innym punkcie tego okręgu (poza przypadkami zdegenerowanymi). Takich punktów jest nieskończenie wiele.

Ponieważ $OA=OB=1$ i trójkąt $AOB$ jest prostokątny, cięciwa $AB=\sqrt2$. Wierzchołek $C$ trójkąta równoramiennego leży na symetralnej $AB$ i może być środkiem jednego z dwóch łuków $AB$.

Odległość środka okręgu od cięciwy $AB$ wynosi $\sqrt{1-(\sqrt2/2)^2}=\frac{\sqrt2}{2}$. Wysokość trójkąta opuszczona na $AB$ ma zatem długość $1+\frac{\sqrt2}{2}$ albo $1-\frac{\sqrt2}{2}$. Pola są równe

Niech przyprostokątna ma długość $a$. Obwód wynosi $a(2+\sqrt2)=a\sqrt2(1+\sqrt2)=8(1+\sqrt2)$, więc $a=4\sqrt2$. Przeciwprostokątna ma długość $8$, zatem promień okręgu opisanego jest równy $4$. Pole koła wynosi $\pi\cdot4^2=16\pi$.