MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 205

Promień $OA$ jest prostopadły do stycznej w punkcie $A$. Kąt między styczną i cięciwą $AB$ ma miarę równą połowie kąta środkowego $AOB$ opartego na tym samym łuku. Zatem $\alpha=\frac12\beta$, czyli $\beta=2\alpha$.

Każdy z dwunastu równych łuków ma miarę $360^\circ:12=30^\circ$. Dla kąta utworzonego przez przecinające się cięciwy bierzemy połowę sumy miar dwóch łuków leżących naprzeciw tego kąta. Zliczenie łuków dla trzech wierzchołków powstałego trójkąta daje odpowiednio

a trzeci kąt ma $180^\circ-15^\circ-45^\circ=120^\circ$.

Niech odcinki drugiej cięciwy mają długości $3x$ i $4x$. Z twierdzenia o iloczynach odcinków przecinających się cięciw:

Stąd $12x^2=24$, więc $x=\sqrt2$. Szukane długości to $3\sqrt2$ cm i $4\sqrt2$ cm.

Niech $A'$ leży na stycznej po przeciwnej stronie punktu $A$ niż $P$. Z twierdzenia o kącie między styczną i cięciwą $\angle A'AC=\angle ABC$, bo oba kąty odpowiadają łukowi $AC$.

Promienie $AA'$ i $AP$ są przeciwne, więc $\angle PAC=180^\circ-\angle A'AC$. Także promienie $BC$ i $BP$ są przeciwne, zatem $\angle ABP=180^\circ-\angle ABC$. Prawe strony są równe, czyli $\angle PAC=\angle ABP$.

Kąty $APD$ i $CPB$ są wierzchołkowe. Ponadto kąty $ADP$ i $CBP$ są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku $AC$. Trójkąty $APD$ i $CPB$ są więc podobne z cechy kąt–kąt.

Z odpowiadających boków lub bezpośrednio z twierdzenia o cięciwach:

czyli $4\cdot BP=2\cdot6$. Stąd $BP=3$.

W trójkącie $ABC$ mamy $\angle A=180^\circ-70^\circ-50^\circ=60^\circ$. Dwusieczna daje $\angle BAD=\angle DAC=30^\circ$.

Kąt $ADB$ i kąt $ACB$ opierają się na tym samym łuku $AB$, więc $\angle ADB=50^\circ$. Stąd w trójkącie $ABD$: $\angle ABD=180^\circ-30^\circ-50^\circ=100^\circ$.

Analogicznie $\angle ADC=\angle ABC=70^\circ$, więc $\angle ACD=80^\circ$. Kąt czworokąta przy $D$ jest sumą kątów $ADB$ i $ADC$, zatem ma $120^\circ$.

Dla punktu $P$ leżącego wewnątrz okręgu iloczyn długości odcinków dowolnej cięciwy przechodzącej przez $P$ jest równy $r^2-OP^2=7^2-3^2=40$.

Jeśli szukane odcinki mają długości $x,y$, to $x+y=13$ oraz $xy=40$. Są więc pierwiastkami równania $t^2-13t+40=0=(t-5)(t-8)$.

Pozostały łuk $DA$ ma miarę $360^\circ-100^\circ-60^\circ-80^\circ=120^\circ$. Kąt wpisany jest połową łuku leżącego naprzeciw niego, zatem

Kąt między przekątnymi jest połową sumy łuków $AB$ i $CD$: $\frac12(100^\circ+80^\circ)=90^\circ$.

W czworokącie wpisanym $ADFE$ kąty przeciwległe są dopełniające: $\angle DAE+\angle DFE=180^\circ$. Ponieważ punkty $D,F,C$ są współliniowe, także $\angle DFE+\angle EFC=180^\circ$, a zatem $\angle DAE=\angle EFC$.

W drugim czworokącie wpisanym $EFCB$ mamy $\angle EFC+\angle EBC=180^\circ$. Stąd $\angle DAE+\angle EBC=180^\circ$. Są to kąty wewnętrzne po tej samej stronie siecznej $AB$ (punkty $A,E,B$ są współliniowe), więc $AD\parallel BC$. Zatem $ABCD$ jest trapezem.