MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 186

Jeden brzeg kanału jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, w którym odległość między dłuższymi bokami działki wynosi $50\ \mathrm{m}$. Jeśli długość jednego brzegu oznaczymy przez $l$, to

$l\sin80^\circ=50,$

czyli

$l=\frac{50}{\sin80^\circ}\approx50{,}77\ \mathrm{m}.$

Potrzebne są dwa odcinki płotu, więc

$2l\approx101{,}5\ \mathrm{m}.$

Oznaczmy miarę kąta ostrego trapezu przez $\alpha$ i wybierzmy przekątną $AC$, która dzieli kąt przy $A$ na połowy oraz jest prostopadła do ramienia $BC$.

a) W trójkącie $ABC$ mamy

\angle ABC=\alpha,\qquad \angle ACB=90^\circ.$$ Z sumy kątów: $$\frac\alpha2+\alpha+90^\circ=180^\circ,$$ więc $\alpha=60^\circ$. Kąty trapezu mają zatem miary $60^\circ$ i $120^\circ$. **b)** W trójkącie $ACD$ kąt $DAC$ ma $30^\circ$. Ponieważ $AB\parallel CD$, także $\angle ACD=\angle CAB=30^\circ$. Zatem $AD=CD$. W prostokątnym trójkącie $ABC$ kąt przy $A$ ma $30^\circ$, więc przeciwprostokątna $AB$ jest dwa razy dłuższa od $BC$. Trapez jest równoramienny, zatem $AD=BC$. Łącząc te równości: $$CD=AD=BC=\frac12AB.$$ Krótsza podstawa jest więc równa ramieniu i dwa razy krótsza od dłuższej podstawy.

Ustawmy przeciwprostokątną na osi: jej końce to $B=(-3,0)$, $C=(3,0)$, a wierzchołek kąta prostego $A=(0,3)$. Punkty podziału to $P=(-1,0)$ i $Q=(1,0)$.

Mamy

$AB=AC=3\sqrt2,\qquad BP=PQ=QC=2,$

$AP=AQ=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}.$

Dwa skrajne trójkąty są przystające i mają boki $3\sqrt2$, $2$, $\sqrt{10}$. Jeden z ich kątów ma $45^\circ$, a

=\frac{(3\sqrt2)^2+(\sqrt{10})^2-2^2} {2\cdot3\sqrt2\cdot\sqrt{10}} =\frac2{\sqrt5},$$ więc $\angle BAP\approx26{,}5^\circ$, a trzeci kąt ma około $108{,}5^\circ$. Trójkąt środkowy ma boki $\sqrt{10}$, $\sqrt{10}$, $2$. Dla kąta przy $A$: $$\cos\angle PAQ=\frac{10+10-4}{20}=\frac45,$$ więc $\angle PAQ\approx37^\circ$, a oba pozostałe kąty mają po około $71{,}5^\circ$.

Niech przekątne mają długości $d_1,d_2$. Są pierwiastkami równania

$t^2-28t+192=0,$

więc mają długości $12$ i $16$. Połówki przekątnych rombu są prostopadłe i z bokiem tworzą trójkąt prostokątny. Dla kąta $\alpha$ między dłuższą przekątną a bokiem:

$\tan\alpha=\frac{12/2}{16/2}=\frac34.$

Stąd $\alpha\approx36{,}9^\circ$, czyli około $37^\circ$.

Przekątna kwadratu ma długość $BD=2\sqrt2$, więc w trójkącie równobocznym także $BE=DE=2\sqrt2$. Przy wierzchołku $B$ kąt między $BD$ i $BC$ ma $45^\circ$, a między $BD$ i $BE$ ma $60^\circ$. Zatem

$\angle CBE=60^\circ-45^\circ=15^\circ.$

Przyjmując współrzędne $B=(2,0)$, $C=(2,2)$, $D=(0,2)$, otrzymujemy $E=(1+\sqrt3,1+\sqrt3)$. Stąd

$CE=\sqrt{2(\sqrt3-1)^2}=\sqrt6-\sqrt2.$

Mamy więc boki

$BC=2,\qquad BE=2\sqrt2,\qquad CE=\sqrt6-\sqrt2.$

Z konstrukcji lub z twierdzenia sinusów wynika $\angle BEC=30^\circ$, a trzeci kąt ma $135^\circ$.

Niech wysokość prostokąta będzie równa $h$, a jego szerokość $w$. Po odcięciu kwadratu lewy prostokąt ma wymiary $(w-h)\times h$ i jest podobny do wyjściowego po obrocie. Zatem

$\frac wh=\frac{h}{w-h}.$

Dla $r=\frac wh$ otrzymujemy $r(r-1)=1$, więc

$r=\frac{1+\sqrt5}{2}.$

W trójkącie $ABF$ odcinek $BF$ jest przekątną kwadratu, dlatego $\angle ABF=45^\circ$. Ponadto

$\tan\angle FAB=\frac{h}{w-h}=r,$

stąd $\angle FAB\approx58^\circ$. Trzeci kąt ma około

$180^\circ-45^\circ-58^\circ\approx77^\circ.$

Korzystamy z zależności dla kątów dopełniających:

\sin46^\circ=\cos44^\circ.$$ Zatem $$\sin^2 23^\circ+\sin^2 67^\circ =\sin^2 23^\circ+\cos^2 23^\circ=1,$$ a drugi czynnik także jest równy $1$. Całe wyrażenie ma wartość $1$.

a) Wyłączamy $\sin^2\alpha$ przed nawias:

{\cos^2\alpha}\cdot\cot^2\alpha =\tan^2\alpha\cdot\cot^2\alpha=1.$$ **b)** Ponieważ $\alpha$ jest ostry, $$\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\cos\alpha,\qquad \sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sin\alpha.$$ Wyrażenie jest więc równe $$\left(\frac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha} +\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)\cos\alpha.$$ Po wymnożeniu: $$\frac{\cos^2\alpha}{1+\sin\alpha}+1+\sin\alpha =1-\sin\alpha+1+\sin\alpha=2.$$

Oznaczmy $s=\sin\alpha$, $c=\cos\alpha$. Z warunku $(s-c)^2=\frac9{25}$ oraz $s^2+c^2=1$:

$1-2sc=\frac9{25},$

więc

$sc=\frac8{25}.$

a) $sc=\frac8{25}$.

b)

=1-\frac{64}{625}=\frac{561}{625}.$$ **c)** $$s^3-c^3=(s-c)(s^2+sc+c^2) =\frac35\left(1+\frac8{25}\right)=\frac{99}{125}.$$ **d)** $$s^4+c^4=(s^2+c^2)^2-2s^2c^2 =1-\frac{128}{625}=\frac{497}{625}.$$