MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 185

Ustawmy kwadrat tak, aby $A=(0,0)$, $B=(2,0)$, $C=(2,2)$ i $D=(0,2)$. Wierzchołek zewnętrznego trójkąta równobocznego ma współrzędne

$E=(1,2+\sqrt3).$

Zatem, dzięki symetrii,

=2\sqrt{2+\sqrt3}.$$ Wysokość z $E$ dzieli $AB$ na połowy. Dla kąta przy $A$: $$\tan\angle EAB=\frac{2+\sqrt3}{1}=2+\sqrt3=\tan75^\circ.$$ Stąd $\angle EAB=\angle ABE=75^\circ$, a $\angle AEB=30^\circ$.

Obliczamy długości boków:

$AB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5,$

$AC=\sqrt{(-4)^2+8^2}=4\sqrt5,$

$BC=\sqrt{(-8)^2+6^2}=10.$

Ponieważ $AB^2+AC^2=20+80=100=BC^2$, trójkąt jest prostokątny przy $A$.

Dla kąta przy $B$:

\cos B=\frac{\sqrt5}{5},\quad \tan B=2,\quad \cot B=\frac12.$$ Dla kąta przy $C$: $$\sin C=\frac{\sqrt5}{5},\quad \cos C=\frac{2\sqrt5}{5},\quad \tan C=\frac12,\quad \cot C=2.$$

a) Korzystając z $\sin^2 60^\circ+\cos^2 60^\circ=1$:

$\sqrt{1+\tan^2 60^\circ}=\sqrt{1+3}=2.$

b)

=\frac{\sqrt2}{1}=\sqrt2.$$ **c)** Ponieważ $\tan30^\circ\cos30^\circ=\sin30^\circ$ i $\tan45^\circ=1$, iloraz jest równy $1$.

Przekątna podstawy ma długość

$BD=\sqrt{3^2+4^2}=5,$

a przekątna bryły

$BH=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=13.$

W prostokątnym trójkącie $BDH$ mamy

$\sin\alpha=\frac{DH}{BH}=\frac{12}{13}.$

W prostokątnym trójkącie $BGH$ odcinek $GH=3$, więc

$\sin\beta=\frac{GH}{BH}=\frac3{13}.$

W prostokątnym trójkącie $BCH$ odcinek $BC=4$, więc

$\sin\gamma=\frac{BC}{BH}=\frac4{13}.$

Zatem

=\frac{144+9+16}{169}=1.$$

Jeśli długość podjazdu oznaczymy przez $l$, to

$\sin4^\circ=\frac1l.$

Stąd

$l=\frac1{\sin4^\circ}\approx14{,}34\ \mathrm{m}.$

Pozioma odległość drona od Jurka wynosi $70\ \mathrm{m}$. Jeśli wysokość oznaczymy przez $h$, to

$\tan34^\circ=\frac h{70},$

więc

$h=70\tan34^\circ\approx47\ \mathrm{m}.$

Odległość $d$ drona od Jurka spełnia

$\cos34^\circ=\frac{70}{d},$

zatem

$d=\frac{70}{\cos34^\circ}\approx84\ \mathrm{m}.$

Pionowa składowa długości belki wynosi

$120\sin60^\circ=60\sqrt3\ \mathrm{cm}.$

Najwyższy narożnik jest dodatkowo wyżej o pionową składową boku przekroju, równą

$10\cos60^\circ=5\ \mathrm{cm}.$

Zatem szukana wysokość to

$60\sqrt3+5\approx108{,}92\ \mathrm{cm}.$