Cała strona · Karty pracy · szkoła średnia

MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 179

temat „Przed maturą z matematyki na poziomie rozszerzonym” · 3 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 3

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rysujemy wykres $y=\log_2(x-3)$ dla $x>3$ i zaznaczamy półpłaszczyznę pod nim. Następnie rysujemy $y=2^{x-6}-6$ i zaznaczamy półpłaszczyznę nad nim. Szukany zbiór jest ich częścią wspólną, czyli obszarem pionowo pomiędzy wykresami. Wykresy przecinają się w przybliżeniu dla $x\approx3{,}0171$ oraz $x\approx9{,}1061$ ; między tymi odciętymi wykres logarytmiczny leży wyżej. Obie krzywe brzegowe należą do zbioru.

Odpowiedź

$\{(x,y):\ 2^{x-6}-6\le y\le\log_2(x-3)\}$ , dla odciętych między dwoma punktami przecięcia wykresów (około $3{,}0171$ i $9{,}1061$ ).

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 4

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla $x>0$ podstawiamy $t=\log_3x$ . Otrzymujemy $t^2-2t-3=(t-3)(t+1)\ge0$ , więc $t\le-1$ albo $t\ge3$ . Logarytm przy podstawie $3$ jest rosnący.

Odpowiedź

$x\in(0,\frac13]\cup[27,\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy ze zmiany podstawy i zapisu potęgowego:

=\exp\!\left(\frac{\ln a\,\ln c}{\ln b}\right) =\exp\!\left(\frac{\ln c\,\ln a}{\ln b}\right) =c^{\log_b a}.$$ Różnica dwóch równych liczb jest zerem.

Odpowiedź

$a^{\log_b c}-c^{\log_b a}=0$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu