MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 179

Z wykresu $f$ odczytujemy, że ma maksimum $2$, a w prawo jest nieograniczony w dół, więc $f(D)=(-\infty,2]$. Przesunięcie o $q$ w pionie przesuwa oba końce zbioru wartości o $q$.

a) Część $|2x|$ na $[-1,2]$ przyjmuje wszystkie wartości od $0$ do $4$, a części stałe nie dodają nowych. Zatem $f(D)=[0,4]$.

b) Część $|x/2|$ na $[-2,2]$ ma wartości $[0,1]$; prawa część dodaje izolowaną wartość $3$. Zbiory wartości $g$ i $h$ przesuwamy odpowiednio o $1$ i o $-2$.

Minimum funkcji $|x|+a$ jest równe $a$. a) Aby zbiorem wartości było $[1,\infty)$, musi być $a=1$. b) Miejsca zerowe spełniają $|x|=-a$; wymaganie $x=\pm4$ daje $-a=4$.

Funkcja $f$ przyjmuje wszystkie wartości z $[0,3]$. Dla poziomów z wnętrza $(0,3)$ równanie ma dwa rozwiązania, dla poziomu $3$ — nieskończenie wiele, a dla poziomu $0$ dokładnie jedno ($x=0$). Po przesunięciu $g=f+a$ równanie $g=c$ jest równoważne $f=c-a$. Dokładnie jedno rozwiązanie wymaga więc $c-a=0$.

Niebieska parabola ma wierzchołek $(0,0)$. Czerwona parabola $f$ ma ten sam kształt i wierzchołek $(0,1)$, więc została przesunięta o $1$ w górę. Parabola $g$ ma wierzchołek $(0,-4)$, więc przesunięto ją o $4$ w dół.

Równanie $x^2+q=m$ jest równoważne $x^2=m-q$. Ma zero rozwiązań dla $m-q<0$, jedno dla $m-q=0$ i dwa dla $m-q>0$. Stosujemy to dla $q=2,-1,-3,-9$.

Aby z osią $OX$ powstał trójkąt, musi być $a<0$. Oznaczmy $h=-a>0$. Wierzchołek ma wysokość $h$ poniżej osi, a miejsca zerowe spełniają $|x|=2h$, więc podstawa ma długość $4h$. Pole wynosi $\frac12\cdot4h\cdot h=2h^2$.

Dla pola $8$ mamy $h=2$, a dla pola $98$ — $h=7$.