MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 49

Po zmianie krawędź ma długość $1{,}2a$.

a) Pole powierzchni skaluje się z kwadratem krawędzi:

$$\frac{6(1{,}2a)^2}{6a^2}=1{,}2^2=1{,}44.$$

Wzrost wynosi więc $44\%$.

b) Objętość skaluje się z sześcianem krawędzi:

$$\frac{(1{,}2a)^3}{a^3}=1{,}2^3=1{,}728.$$

Wzrost wynosi $72{,}8\%$.

a) Nowy promień jest równy $1{,}25r$, więc stosunek pól wynosi

$$\frac{\pi(1{,}25r)^2}{\pi r^2}=1{,}25^2=1{,}5625.$$

Pole wzrośnie o $56{,}25\%$.

b) Obwód jest wprost proporcjonalny do promienia. Wzrost obwodu o $10\%$ oznacza zatem wzrost promienia do $1{,}1r$. Stosunek pól to

$$1{,}1^2=1{,}21,$$

więc pole wzrośnie o $21\%$.

Niech początkowo Lolek ma $x$ zł. Bolek ma wtedy $1{,}25x$ zł. Po sprzedaży zegarka Lolek ma $x+60$ zł i jest to $120\%$ oszczędności Bolka:

$$x+60=1{,}2\cdot1{,}25x=1{,}5x.$$

Stąd $x=120$. Bolek ma $1{,}25\cdot120=150$ zł, a Lolek po sprzedaży zegarka ma $180$ zł. Bolek ma mniej o

$$\frac{180-150}{180}\cdot100\% =\frac16\cdot100\%\approx16{,}67\%.$$

Niech standardowy kartonik zawiera $V$ soku i kosztuje $C$. Cena jednostki objętości wynosi $\frac CV$. W promocji kartonik zawiera $1{,}3V$ i kosztuje tyle samo, więc nowa cena jednostkowa to

$$\frac{C}{1{,}3V}=\frac{10}{13}\frac CV.$$

Zmniejszyła się zatem o

$$\left(1-\frac{10}{13}\right)\cdot100\% =\frac3{13}\cdot100\%\approx23{,}08\%.$$

Niech początkowy ułamek ma postać $\frac ab$, a mianownik po zmianie stanowi część $k$ pierwotnego mianownika. Nowy ułamek jest równy

$$\frac{0{,}6a}{kb}.$$

Ma być trzykrotnie większy od $\frac ab$, więc

$$\frac{0{,}6}{k}=3,\qquad k=0{,}2.$$

Nowy mianownik stanowi $20\%$ starego, czyli trzeba go zmniejszyć o $80\%$.

Niech cena początkowa wynosi $x$. Po obniżce pozostaje $\frac{100-p}{100}x$, zatem

$$\frac{100-p}{100}x=a.$$

Dla $p<100$ otrzymujemy

$$x=\frac{100a}{100-p}.$$

Jeśli wszystkich uczniów jest $N$, to

$$\frac p{100}N=n,\qquad N=\frac{100n}{p}.$$

Nie pojechało zatem

$$N-n=\frac{100n}{p}-n =\left(\frac{100}{p}-1\right)n =\frac{100-p}{p}n$$

uczniów.

Niech czekolada kosztuje $C$. Cztery batoniki kosztują $1{,}04C$, zatem jeden kosztuje

$$\frac{1{,}04C}{4}=0{,}26C.$$

Pięć batoników kosztuje $5\cdot0{,}26C=1{,}30C$, czyli o $30\%$ więcej niż czekolada.

Dla tej samej pracy czas jest odwrotnie proporcjonalny do wydajności. Jeśli początkowa wydajność wynosi $w$, a czas $t$, to po wzroście wydajności do $1{,}4w$ nowy czas jest równy

$$t_1=\frac{wt}{1{,}4w}=\frac57t.$$

Czas skrócił się o

$$\left(1-\frac57\right)\cdot100\% =\frac27\cdot100\%\approx28{,}6\%.$$

Niech długość kroku Piotra wynosi $l$, a liczba kroków wykonywanych przez niego w jednostce czasu — $k$. Prędkość Piotra jest proporcjonalna do $lk$.

Adam ma krok długości $0{,}8l$ i wykonuje $1{,}2k$ kroków w tym samym czasie, więc jego prędkość jest proporcjonalna do

$$0{,}8l\cdot1{,}2k=0{,}96lk.$$

Stanowi ona $96\%$ prędkości Piotra. Piotr poruszał się szybciej i dotarł wcześniej.