MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 347

Wierzchołek $(2,-4)$ jest najniższym punktem paraboli skierowanej ramionami w górę. Funkcja przyjmuje więc wszystkie wartości nie mniejsze niż $-4$.

Oś symetrii paraboli jest pionową prostą przechodzącą przez wierzchołek $W(2,-4)$, zatem ma równanie $x=2$.

Odcięta wierzchołka wynosi $p=-\frac{-6}{2}=3$. Rzędna to $f(3)=9-18-3=-12$.

Z $f(3)=9+3+c=4$ otrzymujemy $c=-8$. Wtedy $f(1)=1+1-8=-6$.

Funkcja ma postać $f(x)=-(x-3)^2-1.$ Pozioma prosta ma dokładnie jeden punkt wspólny z parabolą tylko wtedy, gdy przechodzi przez jej wierzchołek, czyli dla $a=-1$.

Wyróżnik trójmianu wynosi $64$, a miejsca zerowe to $x_1=\frac43,\qquad x_2=4.$ Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc trójmian jest dodatni poza przedziałem między zerami.

Równość $f(-6)=f(0)$ oznacza, że oś symetrii leży w połowie między $-6$ i $0$, czyli ma równanie $x=-3$. Ponieważ największa wartość wynosi $6$, $f(x)=a(x+3)^2+6.$ Z $f(0)=\frac32$ mamy $9a+6=\frac32$, skąd $a=-\frac12$.