MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 346

Podstawiamy współrzędne punktu do $y=ax^2$: $-\frac14=a\left(-\frac32\right)^2=a\frac94.$ Stąd $a=-\frac19$.

Wierzchołek ma współrzędne $(-3,-1)$. Sprawdzamy równania prostych dla $x=-3$; tylko $y=-2x-7$ daje $y=-1$.

Odcięte wierzchołków wynoszą kolejno $3,-3,-3,3$. Po obliczeniu rzędnych tylko dla funkcji $y=x^2+6x+7$ wierzchołek $(-3,-2)$ leży w trzeciej ćwiartce.

Po przesunięciu o $[-p,p^2]$ otrzymujemy $f(x)=-(x+p)^2+p^2=-x^2-2px=-x(x+2p).$ Miejsca zerowe to $0$ i $-2p$.

Podane równanie upraszcza się do $(x-4)^2=0$. Spośród odpowiedzi ten sam zbiór rozwiązań daje $\frac{x^2}{16}+1=\frac x2\iff(x-4)^2=0.$

Wyróżnik trójmianu $x^2-2x-2$ wynosi $12$, więc jego pierwiastki to $1\pm\sqrt3$. Stąd $y=(x-(1+\sqrt3))(x-(1-\sqrt3)).$

Z miejsc zerowych mamy $f(x)=a(x+3)(x-1)$. Warunek $f(0)=\frac32$ daje $-3a=\frac32$, więc $a=-\frac12$. Wtedy $f(-5)=-6,\qquad f(7)=-30.$

Miejsca zerowe trójmianu to $-\frac72$ i $4$. Nierówność zachodzi między nimi, więc rozwiązaniami całkowitymi są $-3,-2,-1,0,1,2,3$ — siedem liczb.

Warunek $f(x)>g(x)$ daje $2x^2-6x-8>0,$ czyli $2(x+1)(x-4)>0$. Trójmian jest dodatni poza miejscami zerowymi.