MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 343

a) Funkcja $f(t)=-(t-1)(t-11)$ jest dodatnia dla $1<t<11$. Dla $t=x-2$ dostajemy $3<x<13$.

b) $f(t)=(t-4)^2$ jest niedodatnia tylko dla $t=4$. Z $1-x=4$ otrzymujemy $x=-3$.

Dla $x<1$ rozwiązujemy $-(x+1)(x+3)<0$, co daje $x<-3$ lub $-1<x<1$. Dla $x\ge1$ rozwiązujemy $(x-3)(x+1)<0$, co daje $1\le x<3$. Po połączeniu przedziałów otrzymujemy wynik.

Pierwsza nierówność daje $A=\langle-4;2\rangle$, a warunek $|x|\le3$ daje $B=\langle-3;3\rangle$. Łączymy i przecinamy te przedziały.

Wierzchołek paraboli ma współrzędne $W=(3,9+c)$.

a) Warunek przynależności do $OX$ daje $9+c=0$. b) Odległości od osi to $|9+c|$ i $3$, więc $|9+c|=3$. c) Odległość od początku spełnia $3^2+(9+c)^2=25$.

a) Z $f(0)=1$ mamy $t=1$; z $f(2)=-3$ otrzymujemy $r=-4$. b) Z wzorów Viète'a dla zer $-2,5$: $r=-3$, $t=-10$. c) Postać kanoniczna to $(x+1)^2+2=x^2+2x+3$. d) Dokładnie jedno zero oznacza $\Delta=0$. Ponieważ $t=f(0)=2$, mamy $r^2-8=0$.

Przedział ujemności monicznego trójmianu leży między jego miejscami zerowymi. Zatem $f(x)=(x-1)(x-5)=(x-3)^2-4.$ Najmniejsza wartość wynosi $-4$, a funkcja nie ma wartości największej.

Dla $x\ge-1$ wykres jest półprostą $y=x-1$ o zbiorze wartości $\langle-2;\infty)$. Dla $x<-1$ mamy $y=-(x+2)^2-1.$ Ta część ma wierzchołek $(-2,-1)$ i kończy się otwartym punktem $(-1,-2)$.

Liczymy przecięcia poziomej prostej $y=r$ z obiema częściami: część liniowa daje jedno dla $r\ge-2$, a paraboliczna odpowiednio dwa dla $-2<r<-1$, jedno dla $r=-1$ oraz jedno dla $r\le-2$ po uwzględnieniu dziedziny.

Dobieramy miejsca zerowe i kierunek ramion zgodnie z podanym zbiorem.

a) Zera $1,3$: $(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$. b) Zera $-3,4$: $-(x+3)(x-4)=-x^2+x+12$. c) Dodatnia poza podwójnym zerem $-4$: $(x+4)^2$. d) Trójmian $-2x^2-x+c$ ma być zawsze ujemny; jego maksimum to $c+\frac18$, więc $c<-\frac18$.