MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 335

Ponieważ $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, współczynnik $a$ skraca się w ilorazie.

a) $w=\frac{(2+2)(2-4)}{(-1+2)(-1-4)}=\frac85$.

b) Iloczyn $(x+1)(x-1)=x^2-1$ jest parzysty, więc iloraz wynosi $1$.

c) Po podstawieniu licznik i mianownik są równe $2-4\sqrt2$.

Odcięta wierzchołka jest średnią miejsc zerowych, a znak współczynnika wskazuje kierunek ramion.

a) Zera $-5,3$, więc wierzchołek ma odciętą $-1$; ramiona w górę. b) Zera $-1,7$, wierzchołek ma odciętą $3$; ramiona w dół. c) Zera $-8,0$, wierzchołek ma odciętą $-4$; ramiona w dół.

Do szkicu wyznaczamy zera, wierzchołek i kierunek ramion.

a) Zera $-2,0$, wierzchołek $(-1,-5)$, ramiona w górę. b) Zera $1,3$, wierzchołek $(2,2)$, ramiona w dół. c) Zera $-1,0$, wierzchołek $(-\frac12,-\frac34)$, ramiona w górę. d) $f(x)=(x-3)(x+1)$: zera $-1,3$, wierzchołek $(1,-4)$, ramiona w górę.

Stosujemy odpowiednie przekształcenia wykresu.

a) Symetria względem $OX$: $g(x)=-f(x)$. b) Symetria względem $OY$: $g(x)=f(-x)$. c) Symetria względem początku: $g(x)=-f(-x)$. d) Symetria względem $x=2$: $g(x)=f(4-x)$.

Korzystamy z postaci iloczynowej i współczynnika przy $x^2$ równego $-1$.

a) Podwójne zero $-4$ daje $f(x)=-(x+4)^2$. b) Końce przedziału dodatniości są zerami: $-\frac32$ i $0$, więc $f(x)=-x(x+\frac32)$. c) Zera to $-\sqrt2$ i $1+\sqrt2$, więc $f(x)=-(x+\sqrt2)(x-1-\sqrt2)$.

Piszemy $f(x)=a(x+2)(x-1)$.

a) $f(3)=10a=10$, więc $a=1$. b) $f(0)=-2a=-6$, więc $a=3$. c) Wierzchołek ma odciętą $-\frac12$, a $(\frac32)(-\frac32)=-\frac94$. Warunek maksimum $9$ daje $a=-4$.

Oś symetrii przechodzi przez wierzchołek, więc suma pierwiastków wynosi $10$.

a) Jeśli pierwiastki to $r$ i $4r$, to $5r=10$, stąd $2$ i $8$. b) Liczby o sumie $10$ i różnicy $2$ to $4$ i $6$. c) Liczby o sumie $10$ i różnicy $6$ to $2$ i $8$.