MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 307

Niech bok $ABCD$ ma długość $a$. Z podziału boków na trzy równe części wynika, że bok obróconego kwadratu jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych $\frac{2a}{3}$ i $\frac{2a}{3}$, więc ma długość $\frac{2\sqrt2}{3}a$. Zatem

$P_{ABCD}:P_{PQRS}=a^2:\frac89a^2=9:8.$

a) Wzorcowy obwód to $3+6+8=17$, więc skala jest równa $1$.

b) Przeciwprostokątna pierwszego trójkąta ma $4\sqrt5$. Skala drugiego do pierwszego to $20/(4\sqrt5)=\sqrt5$, więc jego pole wynosi $\frac12\cdot4\cdot8\cdot5=80$.

c) Pole trójkąta wzorcowego wynosi $15$, zatem wysokość na bok $10$ ma $3$. W docelowym trójkącie ta wysokość ma $1$, więc skala wynosi $1/3$. Obwód to $(10+3\sqrt5+5)/3=5+\sqrt5$.

Plan dzielimy odcinkami $AC$ i $CE$ na trzy trójkąty. Ich pola na mapie są

\frac12\cdot3\cdot1{,}5=2{,}25,\quad \frac12\cdot4\cdot1=2\ \mathrm{cm}^2.$$ Razem to $9{,}25\ \mathrm{cm}^2$. W skali $1:20000$ jeden centymetr to $200$ m, więc $1\ \mathrm{cm}^2$ odpowiada $4$ ha. Pole rzeczywiste wynosi $9{,}25\cdot4=37$ ha.

Z twierdzenia o dwusiecznej $CE:BE=AC:AB=13:14$, więc $AB=126$. Ustawmy $AB$ poziomo i niech $D$ będzie spodkiem wysokości. Dwusieczna z $A$ przecina $CD$ w $F$; z równania jej kierunku otrzymujemy

$\frac{CF}{DF}=\frac{AC}{AD}=\frac{117}{AD}=\frac{13}{5},$

stąd $AD=45$. Z Pitagorasa $CD=\sqrt{117^2-45^2}=108$. Pole wynosi $\frac12\cdot126\cdot108=6804$.

Niech krótsza przyprostokątna trójkąta $30^\circ$–$60^\circ$–$90^\circ$ ma długość $t$, a bok kwadratu $s=\sqrt3$. Ustawiamy przyprostokątne na osiach i zapisujemy warunki: $P,Q$ leżą na osiach, $R,S$ na prostej przeciwprostokątnej oraz $PQRS$ jest kwadratem. Rozwiązanie powstałego układu liniowego daje

$P_{ABC}=\frac12\sqrt3\,t^2=3+\frac{19}{8}\sqrt3.$

Przeciwprostokątna ma długość $10$, a wysokość na nią $h=\frac{6\cdot8}{10}=4{,}8$. Jej rzuty na przeciwprostokątną mają długości $\frac{6^2}{10}=3{,}6$ i $\frac{8^2}{10}=6{,}4$. Pola to

\frac12\cdot6{,}4\cdot4{,}8=15{,}36.$$

Mały trójkąt przy wierzchołku $C$ ma połowę pola całego trójkąta. Jego skala do całego wynosi więc $1/\sqrt2$, czyli $CP/CA=1/\sqrt2$. Zatem

$\frac{AP}{PC}=\frac{1-1/\sqrt2}{1/\sqrt2}=\sqrt2-1.$