MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 306

Trójkąty $ABN$ i $CBK$ mają po dwa odpowiednie boki równe bokom danych kwadratów: $AB=BC$ oraz $BN=BK$. Kąty zawarte między nimi są równe, bo oba mają miarę $90^\circ+\angle NBC$. Trójkąty są przystające z cechy bok–kąt–bok, więc odpowiadające boki spełniają $KC=NA$.

Niech $\overrightarrow{AS}=\mathbf u$, więc $\overrightarrow{AB}=2\mathbf u$. Oznaczmy $\overrightarrow{AD}=\mathbf v$; z $AB=2BC$ mamy $|\mathbf u|=|\mathbf v|$. Wtedy

Stosujemy odwrotność twierdzenia Talesa.

a) $AD=15+21=36$, $AC=20+28=48$ i $\frac{AE}{AD}=\frac{15}{36}=\frac{20}{48}=\frac{AB}{AC}$, więc proste są równoległe.

b) $JF=37$, $JG=53$, lecz $\frac7{37}\ne\frac{10}{53}$, więc nie są.

c) $KP=21{,}5$, $KN=17{,}6$, lecz $\frac{14{,}5}{21{,}5}\ne\frac{12}{17{,}6}$, więc nie są.

a) Sam warunek równoramienności i rozwartości nie wyznacza miar kątów, więc trójkąty nie muszą być podobne.

b) Równość samych ilorazów dwóch kątów nie wymusza równości tych kątów, więc również nie.

c) Wszystkie sześciokąty foremne mają odpowiadające kąty równe i boki proporcjonalne, zatem są podobne.

Dwie środkowe dzielą trójkąt na sześć małych trójkątów o równych polach. Trójkąt $ARC$ składa się z dwóch takich części, więc stanowi $\frac13$ pola $ABC$. Zatem $P_{ABC}=3\cdot8=24$.

Niech boki początkowego prostokąta będą równe $a,b>0$. Podobieństwo po zwiększeniu obu o $1$ daje

$\frac{a+1}{b+1}=\frac ab.$

Po wymnożeniu $ab+b=ab+a$, więc $a=b$. Prostokąt początkowy był kwadratem.

Prostokąt o obwodzie $60$ i wspólnym boku $10$ ma drugi bok $20$. Drugi, różny prostokąt podobny korzysta ze wspólnego odcinka jako z dłuższego boku, więc jego drugi bok ma długość $5$. Jego obwód wynosi $2(10+5)=30$.

Współrzędne można przeskalować do kwadratu jednostkowego. Równania czterech prostych łączących wierzchołki ze środkami odpowiednich przeciwległych boków pokazują, że sąsiednie boki $EFGH$ są prostopadłe i równe. Jest to więc kwadrat, a jego bok ma długość $\frac{a}{\sqrt5}$. Stąd

$P_{EFGH}=\left(\frac{a}{\sqrt5}\right)^2=\frac15a^2.$