MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 298

Pierwszy prostokąt ma boki $4$ cm i $8$ cm, więc $P_1=32\ \mathrm{cm}^2$ i obwód $L_1=24$ cm. Skala drugiego do pierwszego spełnia

$k=\sqrt{\frac{50}{32}}=\frac54.$

Stąd $L_2=24\cdot\frac54=30$ cm.

Pole $P_2$ jest czterokrotnie większe, więc skala długości wynosi $2$ i $P_2$ również ma stosunek boków $2:1$. Oznaczmy jego boki przez $2x,x$. Z przekątnej:

$5x^2=36,\qquad x^2=\frac{36}{5}.$

Zatem $P_2=2x^2=\frac{72}{5}=14{,}4\ \mathrm{cm}^2$.

Odcinki łączące środki boków dzielą trójkąt na cztery przystające trójkąty o polu równym $\frac14P_{ABC}$. Czworokąt $APQR$ składa się z dwóch takich części, więc ma pole $\frac12P_{ABC}$. Szukany stosunek wynosi $2:1$.

Prostokąt $EBCF$ ma wysokość $6$ i szerokość $x$. Aby był podobny do prostokąta $12\times6$ jako figura obrócona, musi zachodzić

$\frac{x}{6}=\frac{6}{12}.$

Stąd $x=3$, a pole wynosi $3\cdot6=18$.

a) Punkt przecięcia przekątnych dzieli je jak podstawy, więc podstawy są w stosunku $1:4$. Krótsza ma długość $2$, a pole trapezu to $\frac{8+2}{2}\cdot4=20$.

b) Pola trójkątów przy podstawach są jak kwadraty podstaw. Z $8:2=4:1$ wynika stosunek podstaw $2:1$, a z ich sumy otrzymujemy $4$ i $2$. Wysokości tych trójkątów wynoszą $\frac{2\cdot8}{4}=4$ i $\frac{2\cdot2}{2}=2$, więc wysokość trapezu jest równa $6$.

Przyjmijmy prostokąt jednostkowy: $A=(0,0)$, $B=(1,0)$, $C=(1,1)$, $D=(0,1)$. Wtedy $P=(\frac12,0)$, $Q=(1,\frac12)$, a z równań prostych $AQ$ i $PC$ otrzymujemy $S=(\frac23,\frac13)$. Obliczenie pól metodą trójkątów lub wzorem na pole wielokąta daje

$P_{ASCD}=\frac45P_{ABCD},\qquad P_{PBQS}=\frac15P_{ABCD}.$

Współrzędne afiniczne możemy przyjąć jako $A=(0,0)$, $B=(1,0)$, $D=(0,1)$, $C=(1,1)$ i $P=(\frac12,1)$. Przecięcie $AP$ z $BD$ to $Q=(\frac13,\frac23)$. Pola wyznaczone z tych współrzędnych są niezmiennicze przy przekształceniu afinicznym, więc

$P_{DQP}=\frac1{12}S,\qquad P_{QBCP}=\frac5{12}S.$

Pole $T_2$ jest osiem razy większe, więc skala $T_2:T_1$ wynosi $\sqrt8=2\sqrt2$. Środkowa z kąta prostego ma połowę długości przeciwprostokątnej, zatem przeciwprostokątna $T_2$ ma długość $8\sqrt2$, a w $T_1$ — $4$. Jeśli przyprostokątne $T_1$ to $x,3x$, to

$10x^2=16,\qquad x=\frac{2\sqrt{10}}5.$

Niech wysokość dzieli przeciwprostokątną na odcinki $x,y$. Z pól małych trójkątów mamy $\frac{hx}{2}=64$ i $\frac{hy}{2}=256$, więc $y=4x$. Ponadto $h^2=xy$, czyli $h=2x$. Pierwsze równanie daje $x^2=64$, zatem $x=8$, $y=32$, a przeciwprostokątna ma długość $40$.