MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 297

Dla figur podobnych $\frac{P_1}{P_2}=k^2$, więc w każdym podpunkcie $k=\sqrt{\frac{P_1}{P_2}}$. Po podstawieniu danych otrzymujemy kolejno $2$, $\frac18$, $\frac53$ i $\sqrt2$.

Skala trójkąta $T_2$ względem $T_1$ jest równa $k$, zatem $P_2=k^2P_1$ i $P_1=\frac{P_2}{k^2}$. Podstawienie danych daje: $\frac{99}{9}=11$, $\frac{17}{1/16}=272$ oraz $\frac{300}{5}=60$.

Stosunek obwodów, a więc i odpowiadających długości, wynosi $k=\frac{30}{40}=\frac34$. Pole zmienia się w skali $k^2$:

$P_1=60\left(\frac34\right)^2=60\cdot\frac9{16}=33{,}75.$

a) Skala długości wynosi $\frac{60}{12}=5$, więc pole jest $5^2=25$ razy większe.

b) Skala długości wynosi $\frac{180}{18}=10$, więc pole jest $10^2=100$ razy większe.

Pole figur podobnych zmienia się jak kwadrat skali. Potrzebna skala długości to zatem $k=\sqrt2$. Na pomocniczej półprostej konstruujemy odcinek długości $\sqrt2$ razy większej od wybranego boku trójkąta, a następnie przez odpowiednie równoległe odtwarzamy pozostałe dwa boki. Otrzymany trójkąt jest podobny w skali $\sqrt2$, więc ma pole dwa razy większe.

Obwód zwiększył się w tej samej skali co wszystkie długości: $k=2{,}25=\frac94$. Pole zwiększyło się więc

$k^2=\left(\frac94\right)^2=\frac{81}{16}=5\frac1{16}.$

Trójkąt odcięty przez odcinek środkowy jest podobny do wyjściowego w skali $\frac12$, ma więc pole $12\cdot\frac14=3$. Pole pozostałego trapezu wynosi $12-3=9$.

Niech pole trapezu będzie równe $T$. Wtedy pole małego trójkąta to $3T$, a całego trójkąta $4T$. Skala podobieństwa trójkąta $CPQ$ do $CAB$ wynosi

$\frac{CP}{CA}=\sqrt{\frac{3T}{4T}}=\frac{\sqrt3}{2}.$

Zatem $\frac{CP}{AP}=\frac{\sqrt3/2}{1-\sqrt3/2}=3+2\sqrt3$.

Trójkąty od wierzchołka są podobne do całego w skalach $\frac13$ i $\frac23$, więc ich pola wynoszą odpowiednio $\frac19S$ i $\frac49S$. Pola trzech kolejnych części to zatem

Skala mniejszego rombu do większego wynosi $\frac46=\frac23$. Wysokość większego rombu to $\frac{18}{6}=3$ cm, zatem wysokość mniejszego wynosi $3\cdot\frac23=2$ cm. Jego pole jest równe $4\cdot2=8\ \mathrm{cm}^2$.