MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 289

Porównujemy ilorazy dłuższego i krótszego boku: $7{,}5/2{,}5=3$, $14{,}4/4{,}8=3$, $5/(5/3)=3$, natomiast $8/5=1{,}6$. Zatem pierwsze trzy prostokąty są parami podobne, a $P_4$ nie jest podobny do żadnego z nich.

Zliczenie kratek daje prostokątowi $P$ wymiary $12\times6$, czyli stosunek boków $2:1$. Ten sam stosunek (także po obrocie) mają $P_1$ o wymiarach $2\times1$, $P_2$ o wymiarach $8\times4$, $P_3$ o wymiarach $6\times3$ i $P_4$ o wymiarach $4\times2$. Ich skale względem $P$ to odpowiednio $1/6,2/3,1/2,1/3$.

Każdy bok $C_1$ jest pięć razy dłuższy od odpowiadającego boku $C_2$: $7/1{,}4=22/4{,}4=15/3=29/5{,}8=5$. Zatem skala podobieństwa $C_1$ do $C_2$ wynosi $5$.

Mnożymy oba wymiary $12$ i $15$ przez podaną skalę.

a) $48$ i $60$. b) $12$ i $15$. c) $78$ i $97{,}5$. d) $0{,}2$ i $0{,}25$.

Jako przykład wybierzmy czworokąt o wierzchołkach $(0,0),(2,0),(3,1),(0,2)$. Homotetia o środku w początku układu mnoży każdą współrzędną przez $k$. Dla $k=2$ otrzymujemy $(0,0),(4,0),(6,2),(0,4)$; dla $k=4$: $(0,0),(8,0),(12,4),(0,8)$; dla $k=1/2$: $(0,0),(1,0),(1{,}5,0{,}5),(0,1)$; dla $k=1/4$: $(0,0),(0{,}5,0),(0{,}75,0{,}25),(0,0{,}5)$.

Wygodnie przyjąć homotetię o środku $(0,0)$. Dla $k_1=2$ obrazy wierzchołków to $(-8,2),(6,2),(6,8),(-8,8)$. Dla $k_2=0{,}5$ są to $(-2,0{,}5),(1{,}5,0{,}5),(1{,}5,2),(-2,2)$. W obu przypadkach stosunek odpowiadających boków jest równy zadanej skali.

Stosunek boków $P_1$ wynosi $32:48=2:3$.

Jeżeli bok $16$ w $P_2$ odpowiada bokowi $32$, drugi ma $24$; $P_1$ jest wtedy podobny do $P_2$ w skali $2$, a obwód $P_2$ to $80$.

Jeżeli bok $16$ odpowiada bokowi $48$, drugi ma $32/3$; skala $P_1$ do $P_2$ wynosi $3$, a obwód $P_2$ to $2(16+32/3)=160/3$.