NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 205

a) Kąt $120^\circ$ jest zawarty między bokami długości 7 cm i 5 cm, więc

$$P=\frac12\cdot7\cdot5\cdot\sin120^\circ =\frac{35\sqrt3}{4}\ \text{cm}^2.$$

b) Kąt między ramionami ma miarę

$$180^\circ-2\cdot22^\circ30'=135^\circ.$$

Zatem

$$P=\frac12\cdot8^2\sin135^\circ=16\sqrt2\ \text{cm}^2.$$

Ze skanu odczytujemy, że $AC=BC=s$, a kąt między ramionami ma miarę $120^\circ$. Z twierdzenia cosinusów

$$AB^2=s^2+s^2-2s^2\cos120^\circ=3s^2,$$

zatem $AB=s\sqrt3$. Warunek na obwód daje

$$s(2+\sqrt3)=12+8\sqrt3=4\sqrt3(2+\sqrt3),$$

więc $s=4\sqrt3$ i $AB=12$. Wysokość opuszczona z $C$ na $AB$ ma długość

$$h=\sqrt{(4\sqrt3)^2-6^2}=2\sqrt3.$$

a) Punkt $P$ jest środkiem $BC$, więc trójkąty $APC$ i $APB$ mają równe pola. Stąd

$$P_{APC}=\frac12P_{ABC} =\frac12\cdot\frac12\cdot12\cdot2\sqrt3=6\sqrt3\ \text{cm}^2.$$

b) Z proporcji $AR:RB=3:2$ otrzymujemy $AR=\frac35\cdot12=\frac{36}{5}$. Trójkąt $ARC$ ma tę samą wysokość do prostej $AB$ co trójkąt $ABC$, więc

$$P_{ARC}=\frac12\cdot\frac{36}{5}\cdot2\sqrt3 =\frac{36\sqrt3}{5}\ \text{cm}^2.$$

c) Mamy $RB=\frac25\cdot12=\frac{24}{5}$. Ponieważ $P$ jest środkiem $BC$, jego odległość od $AB$ jest równa $\frac h2=\sqrt3$. Zatem

$$P_{PRB}=\frac12\cdot\frac{24}{5}\cdot\sqrt3 =\frac{12\sqrt3}{5}\ \text{cm}^2.$$

a) Oznaczmy wysokość przez $h$. Podstawa ma wtedy długość $4h$, więc

$$\frac12\cdot4h\cdot h=36,$$

skąd $h=3\sqrt2$ i podstawa ma długość $12\sqrt2$. Połowa podstawy ma długość $6\sqrt2$, zatem ramię jest równe

$$\sqrt{(3\sqrt2)^2+(6\sqrt2)^2}=3\sqrt{10}.$$

Obwód wynosi

$$12\sqrt2+2\cdot3\sqrt{10}=6(2\sqrt2+\sqrt{10})\ \text{cm}.$$

b) Niech podstawa ma długość $a$. Wówczas $h=\frac{\sqrt3}{6}a$ i

$$\frac12a\cdot\frac{\sqrt3}{6}a=12\sqrt3.$$

Stąd $a=12$ i $h=2\sqrt3$. Dla kąta przy podstawie $\alpha$:

$$\tan\alpha=\frac{2\sqrt3}{6}=\frac{\sqrt3}{3},$$

więc $\alpha=30^\circ$, a kąt między ramionami ma $120^\circ$. Ramię ma długość

$$\sqrt{6^2+(2\sqrt3)^2}=4\sqrt3,$$

zatem obwód wynosi $12+8\sqrt3=4(3+2\sqrt3)\ \text{cm}$.

Niech $r$ oznacza długość ramienia, a $a$ — długość podstawy. Z warunku

$$\frac{r}{2r+a}=0{,}3=\frac3{10}$$

otrzymujemy $a=\frac43r$. Wysokość opuszczona na podstawę ma długość

$$h=\sqrt{r^2-\left(\frac a2\right)^2} =\sqrt{r^2-\left(\frac{2r}{3}\right)^2} =\frac{r\sqrt5}{3}.$$

Z warunku na pole:

$$8\sqrt5=\frac12\cdot\frac{4r}{3}\cdot\frac{r\sqrt5}{3} =\frac{2r^2\sqrt5}{9}.$$

Stąd $r^2=36$, więc $r=6$, a $a=8$.

Korzystamy ze wzoru $P=\frac12ab\sin\gamma$, gdzie $\gamma$ jest kątem zawartym między bokami $a$ i $b$.

a)

$$P=\frac12\cdot6\cdot10\cdot\sin30^\circ=15.$$

b)

$$P=\frac12\cdot10\cdot12\cdot\sin120^\circ =60\cdot\frac{\sqrt3}{2}=30\sqrt3.$$

c) Trzeci kąt ma miarę

$$|\angle BAC|=180^\circ-35^\circ-100^\circ=45^\circ.$$

Zatem

$$P=\frac12\cdot4\sqrt3\cdot\sqrt3\cdot\sin45^\circ =3\sqrt2.$$

d) Kąty przy podstawie mają po $15^\circ$, więc kąt między równymi bokami ma miarę $150^\circ$. Stąd

$$P=\frac12(3\sqrt2)^2\sin150^\circ=\frac92.$$

Niech $x=|AC|$. Z warunku na pole:

$$12=\frac12\cdot4\cdot x\sin\angle CAB,$$

czyli $x=\frac6{\sin\angle CAB}$.

a)

$$x=\frac6{\sin30^\circ}=12\ \text{cm}.$$

b)

$$x=\frac6{\sin45^\circ}=\frac{12}{\sqrt2}=6\sqrt2\ \text{cm}.$$

c)

$$x=\frac6{\sin120^\circ}=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3\ \text{cm}.$$