NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 107

a) Podstawiamy podane wielomiany i redukujemy wyrazy podobne:

$$\begin{aligned} u(x)&=2(x^3-1)+(1-x)(2x^2+4x+1)\\ &=2x^3-2+2x^2+4x+1-2x^3-4x^2-x\\ &=-2x^2+3x-1. \end{aligned}$$

Najwyższa potęga o niezerowym współczynniku to $x^2$, więc $\operatorname{st}(u)=2$.

b)

\begin{aligned} u(x)&=(x^3-1)^2-\frac{x^4}{2}(2x^2+4x+1)\\ &=x^6-2x^3+1-left(x^6+2x^5+\frac12x^4\right)\\ &=-2x^5-\frac12x^4-2x^3+1. \end{aligned}

Zatem $\operatorname{st}(u)=5$.

a) Z warunku $w(0)=3$ otrzymujemy

$$\frac b2=3,$$

czyli $b=6$. Drugi warunek daje

$$w(-1)=-1+(a-b)+4+\frac b2=4,$$

a więc $a-\frac b2=1$. Po podstawieniu $b=6$ dostajemy $a=4$.

b) Tym razem warunki mają postać

$$\begin{cases} a-6b=3,\\ 2a-6b+3=4. \end{cases}$$

Po odjęciu pierwszego równania od drugiego otrzymujemy $a=-2$. Wtedy $-2-6b=3$, zatem $b=-\frac56$.

Wyłączamy wspólny czynnik, a następnie stosujemy wzory skróconego mnożenia.

a)

$$3x^4-3x^2=3x^2(x^2-1)=3x^2(x-1)(x+1).$$

b)

$$2x^3+4x^2+2x=2x(x^2+2x+1)=2x(x+1)^2.$$

c)

$$x^6+7x^5+6x^4=x^4(x^2+7x+6)=x^4(x+1)(x+6).$$

d)

$$\begin{aligned} 5x^5-10x^3+5x &=5x(x^4-2x^2+1)\\ &=5x(x^2-1)^2=5x(x-1)^2(x+1)^2. \end{aligned}$$

e)

$$\begin{aligned} -3x^5+30x^3-75x &=-3x(x^4-10x^2+25)\\ &=-3x(x^2-5)^2\\ &=-3x(x-\sqrt5)^2(x+\sqrt5)^2. \end{aligned}$$

f)

$$\begin{aligned} 32x^6-16x^4+2x^2 &=2x^2(16x^4-8x^2+1)\\ &=2x^2(4x^2-1)^2\\ &=32x^2\left(x-\frac12\right)^2 \left(x+\frac12\right)^2. \end{aligned}$$

Sprowadzamy każde równanie do postaci iloczynowej.

a)

$$x^2(2x^2+x+5)=0.$$

Trójmian ma wyróżnik $1-40=-39$, więc jedynym rozwiązaniem jest $x=0$.

b)

$$-2x(x^2+3x-4)=-2x(x+4)(x-1)=0,$$

stąd $x=-4$, $x=0$ lub $x=1$.

c)

$$x^3(x^2-7x+12)=x^3(x-3)(x-4)=0,$$

stąd $x=0$, $x=3$ lub $x=4$.

d) Po przeniesieniu $x^4$ na lewą stronę:

$$x^4(20x^2+x-1)=x^4(4x+1)(5x-1)=0.$$

Zatem $x=-\frac14$, $x=0$ lub $x=\frac15$.

e)

$$x^3(4x^2-4x+1)=x^3(2x-1)^2=0,$$

więc $x=0$ lub $x=\frac12$.

f)

$$x^4(2x^2+x-1)=x^4(2x-1)(x+1)=0,$$

więc $x=-1$, $x=0$ lub $x=\frac12$.

a) Grupujemy wyrazy:

$$\begin{aligned} x^3-2x^2-2x+4 &=x^2(x-2)-2(x-2)\\ &=(x-2)(x^2-2)\\ &=(x-2)(x-\sqrt2)(x+\sqrt2). \end{aligned}$$

Pierwiastki: $-\sqrt2$, $\sqrt2$, $2$.

b)

$$\begin{aligned} x^4+x^3-4x^2-4x &=x(x+1)(x^2-4)\\ &=x(x+1)(x-2)(x+2). \end{aligned}$$

Pierwiastki: $-2$, $-1$, $0$, $2$.

c)

$$\begin{aligned} 5x^3+x^2-15x-3 &=x^2(5x+1)-3(5x+1)\\ &=(5x+1)(x^2-3)\\ &=5\left(x+\frac15\right)(x-\sqrt3)(x+\sqrt3). \end{aligned}$$

Pierwiastki: $-\sqrt3$, $-\frac15$, $\sqrt3$.

d) Korzystamy z różnicy sześcianów:

$$125x^3-27=5\left(x-\frac35\right)(25x^2+15x+9).$$

Drugi czynnik nie ma pierwiastków rzeczywistych, zatem jedynym pierwiastkiem jest $\frac35$.

e) Wyłączamy $x$ i stosujemy wzór na sumę sześcianów:

$$27x^4+\frac18x =27x\left(x+\frac16\right) \left(x^2-\frac16x+\frac1{36}\right).$$

Ostatni trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych. Pierwiastki wielomianu to $-\frac16$ i $0$.

f)

$$-14x^3+7x=-14x\left(x-\frac{\sqrt2}{2}\right) \left(x+\frac{\sqrt2}{2}\right).$$

Pierwiastki: $-\frac{\sqrt2}{2}$, $0$, $\frac{\sqrt2}{2}$.

Rozkładamy lewe strony przez grupowanie. W ostatniej kolumnie liczymy wyłącznie pierwiastki należące do otwartego przedziału $\left(-\frac12;\frac32\right)$.

W c) i h) liczba $-\frac12$ nie jest liczona, ponieważ jest lewym, wyłączonym końcem przedziału. Trójmiany $x^2+1$, $x^2+2x+4$, $x^2-2x+4$ i $x^2+x+1$ nie mają pierwiastków rzeczywistych.

Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu dokładnie wtedy, gdy $w(a)=0$.

a)

$$w(2)=8+4(2m-1)-6+7=8m+5.$$

Warunek $8m+5=0$ daje $m=-\frac58$.

b)

$$w(3)=-27+9m-3m+5=6m-22.$$

Stąd $6m-22=0$, czyli $m=\frac{11}{3}$.

c)

$$\begin{aligned} w(-2)&=-8+12-2(m^2-2m)+2\\ &=-2m^2+4m+6. \end{aligned}$$

Zatem

$$-2m^2+4m+6=-2(m-3)(m+1)=0,$$

więc $m=-1$ lub $m=3$.