MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 154

Średnia całego rocznika jest średnią ważoną:

=\frac{3320}{51}\approx65{,}10.$$ Dla każdej klasy $E(X^2)=\sigma^2+\overline{x}^{\,2}$. Zatem drugi moment całego rocznika wynosi $$E(X^2)=\frac{25(1{,}1^2+60^2)+26(1{,}5^2+70^2)}{51} =\frac{217488{,}75}{51}.$$ Wariancja rocznika to $$\sigma^2=E(X^2)-\left(\frac{3320}{51}\right)^2 =\frac{278105}{10404}\approx26{,}7306,$$ więc $\sigma\approx5{,}17$.

Dla dodatnich $a,b$ średnia harmoniczna jest równa $H=\frac{2}{\frac1a+\frac1b}=\frac{2ab}{a+b},$ a średnia arytmetyczna $A=\frac{a+b}{2}.$ Ponieważ $a+b>0$, możemy obliczyć

=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)} =\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\geq0.$$ Zatem $H\leq A$, przy czym równość zachodzi dokładnie dla $a=b$.