MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 32

Niech najmniejszą z liczb będzie nieparzysta liczba naturalna $x$. Pozostałe liczby to $x+2$ i $x+4$. Z warunku otrzymujemy

$$x^2+(x+2)^2+(x+4)^2=251,$$ $$3x^2+12x-231=0,$$ $$x^2+4x-77=0,$$ $$(x-7)(x+11)=0.$$

Rozwiązanie $x=-11$ odrzucamy, ponieważ liczby mają być naturalne. Dla $x=7$ otrzymujemy $7$, $9$, $11$; istotnie $49+81+121=251$.

Niech dodatnie długości boków będą równe $x$ i $y$. Z pola $xy=36$. Dla danego obwodu $O$ mamy także $x+y=\frac O2$, więc $x$ i $y$ są pierwiastkami równania

$$t^2-\frac O2t+36=0.$$

a) Dla $O=40$ otrzymujemy $t^2-20t+36=0$, którego dodatnie pierwiastki to $2$ i $18$.

b) Dla $O=20$ równanie $t^2-10t+36=0$ ma deltę $-44$, więc taki prostokąt nie istnieje.

c) Dla $O=24$ mamy $(t-6)^2=0$, więc istnieje kwadrat o boku $6$.

Niech krótsza przyprostokątna ma długość $x$. Dłuższa ma wtedy długość $x+7$, a przeciwprostokątna $x+8$. Z twierdzenia Pitagorasa

$$x^2+(x+7)^2=(x+8)^2,$$ $$x^2-2x-15=0,$$ $$(x-5)(x+3)=0.$$

Długość musi być dodatnia, więc $x=5$. Pozostałe boki mają długości $12$ i $13$.

a) Oznaczamy kolejne długości przez $x$, $x+1$, $x+2$, przy czym ostatnia jest przeciwprostokątną. Mamy

$$x^2+(x+1)^2=(x+2)^2,$$ $$(x-3)(x+1)=0.$$

Dodatnie rozwiązanie to $x=3$.

b) Kolejne parzyste długości oznaczamy przez $x$, $x+2$, $x+4$. Wtedy

$$x^2+(x+2)^2=(x+4)^2,$$ $$(x-6)(x+2)=0.$$

Dodatnie rozwiązanie to $x=6$.

Jeżeli uczestników było $n$, to każdy wręczył pamiątkę $n-1$ innym osobom. Łączna liczba pamiątek spełnia więc

$$n(n-1)=702,$$ $$n^2-n-702=0,$$ $$(n-27)(n+26)=0.$$

Liczba uczestników jest dodatnia, zatem $n=27$.

Każdy mecz odpowiada jednej nieuporządkowanej parze drużyn. Dla $n$ drużyn liczba meczów wynosi zatem

$$\binom n2=\frac{n(n-1)}2=91.$$

Stąd

$$n^2-n-182=0,$$ $$(n-14)(n+13)=0.$$

Dodatnim rozwiązaniem jest $n=14$.

Suma ma być co najmniej równa $1000$. Sprawdzamy dwie kolejne wartości w pobliżu dodatniego rozwiązania nierówności $\frac{n(n+1)}2\ge1000$:

$$\frac{44\cdot45}{2}=990<1000,$$ $$\frac{45\cdot46}{2}=1035.$$

Liczba $1035$ jest czterocyfrowa, a dla każdego $n<45$ suma jest mniejsza, więc najmniejsze $n$ to $45$.

Każdy odcinek jest wyznaczony przez jedną parę punktów, więc

$$\binom n2=\frac{n(n-1)}2=21.$$

Otrzymujemy

$$n^2-n-42=0,$$ $$(n-7)(n+6)=0.$$

Liczba punktów musi być dodatnia, zatem $n=7$.

Wypukły $n$-kąt ma $\frac{n(n-3)}2$ przekątnych. Z treści zadania

$$\frac{n(n-3)}2=n+7,$$ $$n^2-5n-14=0,$$ $$(n-7)(n+2)=0.$$

Liczba boków jest dodatnia, więc $n=7$.

Dla liczby naturalnej $n$ badana różnica wynosi

$$(2n)^2-n^2=3n^2.$$

Ma być czterocyfrowa, zatem $1000\le3n^2\le9999$. Sprawdzamy wartości graniczne:

$$3\cdot18^2=972<1000,\qquad 3\cdot19^2=1083,$$ $$3\cdot57^2=9747,\qquad 3\cdot58^2=10092>9999.$$

Warunek spełniają więc wszystkie liczby od $19$ do $57$ włącznie. Jest ich $57-19+1=39$.

Liczba przekątnych wypukłego $n$-kąta jest równa $\frac{n(n-3)}2$. Stąd

$$\frac{n(n-3)}2=54,$$ $$n^2-3n-108=0,$$ $$(n-12)(n+9)=0.$$

Dodatnim rozwiązaniem jest $n=12$.