MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 30

Niech pierwszą liczbą będzie $x$, a drugą $10-x$. Ich iloczyn jest równy

$$P(x)=x(10-x)=-x^2+10x=-(x-5)^2+25.$$

Największa wartość iloczynu występuje dla $x=5$. Wtedy także $10-x=5$.

Niech mniejszą liczbą będzie $x$, a większą $x+6$. Ich iloczyn ma postać

$$P(x)=x(x+6)=x^2+6x=(x+3)^2-9.$$

Najmniejszą wartość otrzymujemy dla $x=-3$, zatem druga liczba jest równa $3$.

Niech liczby będą równe $x$ i $16-x$.

a) Ich iloczyn wynosi

$$x(16-x)=-(x-8)^2+64,$$

więc jego największa wartość to $64$.

b) Suma kwadratów jest równa

$$x^2+(16-x)^2=2(x-8)^2+128,$$

więc jej najmniejsza wartość to $128$.

Niech składniki będą równe $x$ i $3-x$. Wtedy

$$x^2+(3-x)^2=2\left(x-\frac32\right)^2+\frac92.$$

Suma kwadratów jest najmniejsza dla $x=\frac32$, a drugi składnik ma tę samą wartość.

Niech pierwszą liczbą będzie $x$, a drugą $100-x$. Minimalizujemy

$$Q(x)=x^2+\bigl(2(100-x)\bigr)^2 =5x^2-800x+40000 =5(x-80)^2+8000.$$

Minimum występuje dla $x=80$, więc druga liczba jest równa $20$.

a) Z warunku $x+2y=6$ mamy $x=6-2y$. Zatem

$$xy=-2y^2+6y=-2\left(y-\frac32\right)^2+\frac92.$$

Iloczyn jest największy dla $y=\frac32$ i $x=3$.

b) Z warunku $2x+3y=6$ mamy $x=3-\frac32y$. Zatem

$$xy=-\frac32y^2+3y=-\frac32(y-1)^2+\frac32.$$

Iloczyn jest największy dla $y=1$ i $x=\frac32$.

a) Z warunku $x-6y=4$ wynika $x=4+6y$. Wtedy

$$xy=6y^2+4y=6\left(y+\frac13\right)^2-\frac23.$$

Iloczyn jest najmniejszy dla $y=-\frac13$ i $x=2$.

b) Z warunku $2x-y=-1$ wynika $y=2x+1$. Wtedy

$$xy=2x^2+x=2\left(x+\frac14\right)^2-\frac18.$$

Iloczyn jest najmniejszy dla $x=-\frac14$ i $y=\frac12$.

Niech przyprostokątne mają długości $x$ i $10-x$, gdzie $0<x<10$. Pole trójkąta jest równe

$$P(x)=\frac12x(10-x)=-\frac12(x-5)^2+\frac{25}{2}.$$

Największe pole otrzymujemy dla przyprostokątnych długości $5$ i $5$. Z twierdzenia Pitagorasa przeciwprostokątna ma wtedy długość

$$\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt2.$$

Funkcja $f(x)=-x^2$ ma największą wartość $0$ dla $x=0$, a jej wartości maleją wraz ze wzrostem $|x|$.

a) $f(1)=-1$, $f(2)=-4$.

b) W przedziale leży $0$; ponadto $|-1|<|3|$.

c) W przedziale leży $0$, a najdalszym od niego końcem jest $5$.

d) W przedziale leży $0$; spośród końców większą wartość bezwzględną ma $-3$.

e) Punkt $0$ należy do przedziału, więc wartość największa wynosi $0$. Gdy $x\to\infty$, mamy $f(x)\to-\infty$, zatem wartość najmniejsza nie istnieje.

Funkcja $f(x)=x^2$ ma najmniejszą wartość $0$ dla $x=0$, a jej wartości rosną wraz ze wzrostem $|x|$.

a) Punkt $0$ należy do przedziału, więc minimum wynosi $0$. Funkcja jest nieograniczona z góry.

b) Najbliższym zeru punktem przedziału jest $-4$, stąd minimum to $f(-4)=16$. Dla $x\to-\infty$ wartości rosną bez ograniczenia.

c) Punkt $0$ należy do przedziału, więc minimum wynosi $0$; maksimum nie istnieje.

d) Najbliższym zeru punktem jest $1$, więc minimum to $f(1)=1$; maksimum nie istnieje.

e) Minimum wynosi $f(0)=0$. Największą wartość na końcach daje $f(4)=16$.