MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 27

Po przeniesieniu wszystkich wyrazów na lewą stronę otrzymujemy $a(a-1)x^2-(a+2)x+3=0.$

a) Jest to równanie kwadratowe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynnik przy $x^2$ jest niezerowy: $a(a-1)\ne0,$ czyli $a\ne0$ i $a\ne1$.

b) Aby równanie było liniowe, współczynnik przy $x^2$ musi zniknąć, a współczynnik przy $x$ pozostać niezerowy. Dla $a=0$ wynosi on $-2$, a dla $a=1$ wynosi $-3$, więc obie wartości spełniają warunek.

W obu podpunktach współczynnik przy $x^2$ jest równy $1$, zatem równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste dokładnie wtedy, gdy $\Delta\ge0$.

a) $\Delta=m^2+4(m+1)=(m+2)^2\ge0$ dla każdego $m\in\mathbb R$.

b) $\Delta=(2m)^2-4(m+6)=4(m-3)(m+2).$ Iloczyn jest nieujemny dla $m\le-2$ lub $m\ge3$.

Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy jego współczynnik kwadratowy jest niezerowy i $\Delta>0$.

a) $\Delta=4(m^2-1)>0$, więc $m<-1$ lub $m>1$.

b) $\Delta=(2-m)^2+8m=(m+2)^2>0$, zatem $m\ne-2$.

c) Trzeba mieć $m\ne0$, a ponadto $\Delta=9-4m>0,$ czyli $m<\frac94$.

d) Trzeba wykluczyć $m=\pm2$. Dalej $\Delta=4m^2+8(m^2-4)=4(3m^2-8)>0,$ więc $|m|>\frac{2\sqrt6}{3}$; z tego zbioru usuwamy $\pm2$.

Uwzględniamy zarówno podwójny pierwiastek równania kwadratowego, jak i przypadek, w którym równanie degeneruje się do liniowego.

a) Współczynnik kwadratowy jest stały, a $\Delta=(m-3)^2-4m=(m-1)(m-9).$ Stąd $m=1$ lub $m=9$.

b) $\Delta=(m+3)^2-12m=(m-3)^2,$ więc $m=3$.

c) Dla $m\ne0$ mamy równanie kwadratowe oraz $\Delta=(4m)^2-4(-m)(4m-12)=16m(2m-3).$ Warunek $\Delta=0$ daje $m=\frac32$ (dla $m=0$ powstaje sprzeczność $-12=0$).

d) Dla $m\ne-2$ wyróżnik wynosi $m^2+4(m+2)=(m+2)^2+4>0,$ więc są dwa pierwiastki. Dla $m=-2$ zostaje równanie liniowe $-2x-1=0$, mające dokładnie jeden pierwiastek.

W obu równaniach współczynnik kwadratowy jest niezerowy. Wystarczy wykazać, że wyróżnik jest dodatni dla każdego rzeczywistego $m$.

a) $\Delta=(m-4)^2+8m=m^2+16>0.$

b)

Każde z równań jest kwadratowe dla wszystkich wartości parametru.

a) $\Delta=m^2-4(1+m^2)=-3m^2-4<0.$

b)

Dwa różne pierwiastki istnieją, gdy $\Delta=m^2-4m=m(m-4)>0,$ czyli dla $m<0$ lub $m>4$. Z wzorów Viète'a ich suma wynosi $x_1+x_2=-m.$ Ma być dodatnia, więc $m<0$. Po przecięciu obu warunków otrzymujemy $m<0$.

Warunek dwóch różnych pierwiastków ma postać $\Delta=(-2)^2-12(4-m)=4(3m-11)>0,$ zatem $m>\frac{11}{3}$. Ich iloczyn wynosi $x_1x_2=\frac{4-m}{3}.$ Warunek $x_1x_2\le0$ daje $m\ge4$. Jest on silniejszy od warunku na wyróżnik, więc otrzymujemy $m\ge4$.

Ponieważ współczynnik kwadratowy wynosi $1$, dwa pierwiastki mają różne znaki dokładnie wtedy, gdy ich iloczyn jest ujemny.

a) $x_1x_2=m^2-4m=m(m-4)<0,$ co daje $0<m<4$.

b) $x_1x_2=m^2+m-6=(m+3)(m-2)<0,$ co daje $-3<m<2$. Ujemny iloczyn automatycznie gwarantuje dwa różne pierwiastki rzeczywiste.