MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 232

Oznaczmy krótki bok przez $AB=1$, a pozostałe przez $BC=CD=DA=3$. Symetria układu równych cięciw daje $AC=BD=x$. Z twierdzenia Ptolemeusza:

$$x^2=AB\cdot CD+BC\cdot DA=3+9=12,$$

więc $x=2\sqrt3$. W trójkącie $ACD$ boki mają długości $3,3,2\sqrt3$, a pole jest równe $3\sqrt2$. Promień okręgu:

$$R=\frac{3\cdot3\cdot2\sqrt3}{4\cdot3\sqrt2} =\frac{3\sqrt6}{4}.$$

Pole czworokąta ze wzoru Brahmagupty, dla półobwodu $s=5$, wynosi

$$\sqrt{(5-1)(5-3)^3}=4\sqrt2.$$

Jeśli $\theta$ jest kątem środkowym krótkiej cięciwy, to

$$1=2R\sin\frac\theta2, \quad \theta=2\arcsin\frac{2}{3\sqrt6}\approx31{,}5^\circ.$$

Niech ramiona trójkąta mają długość $2k$, a podstawa $3k$. Wysokość jest równa $k\sqrt7/2$, więc

$$P_\triangle=\frac{3\sqrt7}{4}k^2,\qquad r=\frac{P_\triangle}{s} =\frac{3\sqrt7}{14}k.$$

Niech boki prostokąta będą równe $2t$ i $3t$. Jego przekątna jest średnicą okręgu, zatem $t\sqrt{13}=2r$. Pole prostokąta:

$$P_{\rm prost} =6t^2=\frac{24r^2}{13} =\frac{54}{91}k^2.$$

Stosunek pól wynosi

$$\frac{P_\triangle}{P_{\rm prost}} =\frac{3\sqrt7/4}{54/91}=\frac{91\sqrt7}{72}.$$

Ponieważ $PC\subset AC$ i $AC\perp CB$, mamy $\angle PCB=90^\circ$. Z kolei $PQ\perp AB$ i $QB\subset AB$, więc $\angle PQB=90^\circ$. Punkty $P,C,B,Q$ leżą zatem na jednym okręgu, którego średnicą jest $PB$.

Kąty $\angle PCQ$ i $\angle PBQ$ są kątami wpisanymi tego okręgu opartymi na tej samej cięciwie $PQ$, dlatego są równe.

Wysokość trapezu jest średnicą okręgu wpisanego, czyli ma $2r$. Niech podstawy mają długości $x=1{,}5r$ i $y$, a ukośne ramię $l$. W czworokącie opisanym na okręgu $x+y=2r+l$. Stąd obwód:

$$9=x+y+2r+l=2(x+y),$$

czyli $x+y=4{,}5$. Mamy $l=4{,}5-2r$ oraz $y-x=4{,}5-3r$. Z twierdzenia Pitagorasa:

$$(4{,}5-2r)^2=(2r)^2+(4{,}5-3r)^2.$$

Dodatnie rozwiązanie to $r=1$. Pole trapezu:

$$P=\frac{x+y}{2}\cdot2r=4{,}5.$$

Niech bok rombu ma długość $a$, a jego kąt ostry miarę $\alpha$. Pole rombu jest równe $a^2\sin\alpha$, a promień okręgu wpisanego:

$$r=\frac{a^2\sin\alpha}{2a} =\frac{a\sin\alpha}{2}.$$

Zatem

$$\frac{P_{\rm rombu}}{P_{\rm koła}} =\frac{a^2\sin\alpha}{\pi a^2\sin^2\alpha/4} =\frac{4}{\pi\sin\alpha}.$$

Porównanie z $8/\pi$ daje $\sin\alpha=1/2$. Kąt jest ostry.

Miara kąta wewnętrznego $n$-kąta foremnego jest równa

$$180^\circ-\frac{360^\circ}{n}.$$

Z równania $180^\circ-360^\circ/n=150^\circ$ otrzymujemy $n=12$.

Dla wielokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu $R$:

$$P_n=\frac n2R^2\sin\frac{360^\circ}{n}.$$

Dla dwunastokąta $108=6R^2\sin30^\circ=3R^2$, więc $R^2=36$. Łączenie co drugiego, co trzeciego i co czwartego wierzchołka daje odpowiednio sześciokąt, kwadrat i trójkąt równoboczny:

$$P_6=3R^2\sin60^\circ=54\sqrt3,$$ $$P_4=2R^2=72,\qquad P_3=\frac{3\sqrt3}{4}R^2=27\sqrt3.$$

Liczba przekątnych $k$-kąta jest równa $D_k=k(k-3)/2$. Różnica

$$D_{n+1}-D_n=n-1$$

ma być równa $19$, więc $n=20$. Szukana liczba przekątnych $(n+2)$-kąta wynosi

$$D_{22}=\frac{22\cdot19}{2}=209.$$

Przekątne $AC$ i $BD$ są cięciwami okręgu opisanego na wielokącie. Kąt ostry między przecinającymi się cięciwami jest równy połowie sumy miar łuków $AB$ i $CD$. Każdy z tych łuków odpowiada jednemu bokowi $n$-kąta i ma miarę $360^\circ/n$. Zatem

$$\varphi=\frac12\left(\frac{360^\circ}{n} +\frac{360^\circ}{n}\right)=\frac{360^\circ}{n}.$$

Przyprostokątne mają długości $8\sin15^\circ$ i $8\cos15^\circ$. Pole wynosi

$$P=\frac12\cdot64\sin15^\circ\cos15^\circ =16\sin30^\circ=8.$$

Kwadraty boków wynoszą $28$, $32$ i $60$. Ponieważ $28+32=60$, trójkąt jest prostokątny, a przyprostokątne mają długości $2\sqrt7$ i $4\sqrt2$. Zatem

$$P=\frac12\cdot2\sqrt7\cdot4\sqrt2=4\sqrt{14}.$$

Oznaczmy $\angle A=30^\circ$. Bok $BC=3\sqrt2$ leży naprzeciw $A$, a bok $AC=6$ naprzeciw $B$. Z twierdzenia sinusów:

$$\frac{3\sqrt2}{\sin30^\circ}=\frac6{\sin B}, \qquad \sin B=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Zatem $B=45^\circ$ albo $B=135^\circ$. W pierwszym przypadku $C=105^\circ$, a w drugim $C=15^\circ$. Obie możliwości spełniają dane.