MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 229

Ustawmy trójkąt symetrycznie: $A=(-u,0)$, $B=(u,0)$, $C=(0,h)$. Wektory środkowych poprowadzonych do ramion są proporcjonalne do $(3u,h)$ i $(-3u,h)$.

a) W trójkącie równoramiennym prostokątnym kąt przy $C$ jest prosty, więc $h=u$. Iloczyn skalarny wektorów środkowych wynosi wtedy $-8u^2$, a kwadrat długości każdego z nich $10u^2$. Cosinus kąta ostrego między prostymi jest zatem $4/5$, więc jego tangens wynosi $3/4$.

b) Prostopadłość środkowych daje $-9u^2+h^2=0,$ czyli $h=3u$. Dla kąta między ramionami mamy

$$\cos\angle ACB=\frac{(-u,-h)\cdot(u,-h)}{u^2+h^2} =\frac{h^2-u^2}{h^2+u^2}=\frac45.$$

Niech dwusieczna z $A$ przecina bok $BC$ w punkcie $D$. Z twierdzenia o dwusiecznej

$$BD=\frac{ac}{b+c},\qquad DC=\frac{ab}{b+c}.$$

Stosujemy twierdzenie Stewarta do ceviany $AD=d$:

$$b^2\,BD+c^2\,DC=a\bigl(d^2+BD\cdot DC\bigr).$$

Lewa strona jest równa $abc$, a $BD\cdot DC=\frac{a^2bc}{(b+c)^2}.$ Po podzieleniu przez $a$ otrzymujemy

$$d^2=bc-\frac{a^2bc}{(b+c)^2} =\frac{bc\bigl((b+c)^2-a^2\bigr)}{(b+c)^2}.$$

Wszystkie długości są dodatnie, więc pierwiastkujemy dodatnią stronę.

Oznaczmy długości boków równoległoboku przez $x,y$. Z prawa równoległoboku $2(x^2+y^2)=6^2+12^2=180,$ więc $x^2+y^2=90$. Dla $x=6$ dostajemy $y^2=54$, czyli $y=3\sqrt6$.

Jeżeli $\varphi$ jest kątem między przekątnymi, ich iloczyn skalarny ma wartość bezwzględną $|x^2-y^2|$. Zatem dla kąta ostrego

$$\cos\varphi=\frac{|36-54|}{6\cdot12}=\frac14.$$

W czworokącie wpisanym w okrąg kąty przeciwległe są dopełniające do $180^\circ$, zatem $\angle DCB=60^\circ$. W trójkącie $DCB$ oznaczmy $CD=x$. Z twierdzenia cosinusów

$$3^2=x^2+2^2-2\cdot x\cdot2\cos60^\circ,$$

czyli $x^2-2x-5=0$. Dodatnim rozwiązaniem jest $x=1+\sqrt6$.

Z rozszerzonego twierdzenia sinusów dla trójkąta $DCB$: $2R=\frac{DB}{\sin60^\circ}=2\sqrt3,$ więc $R=\sqrt3$. W trójkącie $ABD$ mamy $\angle ADB=180^\circ-120^\circ-30^\circ=30^\circ$. Ponownie z twierdzenia sinusów $AB=2R\sin30^\circ=\sqrt3,\qquad AD=2R\sin30^\circ=\sqrt3.$

Z twierdzenia Varignona $A_1B_1C_1D_1$ jest równoległobokiem, a długości jego boków są połowami długości przekątnych $AC$ i $BD$.

Niech wektory przekątnych tego równoległoboku mają długości $a,b$ i tworzą kąt $60^\circ$. Wektory jego boków są ich połową sumy i połową różnicy. Dlatego kwadraty długości boków wynoszą

$$\frac{a^2+b^2+2ab\cos60^\circ}{4} =\frac{a^2+b^2+ab}{4}$$

oraz

$$\frac{a^2+b^2-2ab\cos60^\circ}{4} =\frac{a^2+b^2-ab}{4}.$$

Po podwojeniu tych długości otrzymujemy przekątne czworokąta wyjściowego.

Sprowadzamy prawą stronę warunku do wspólnego mianownika i mnożymy przez dodatnie mianowniki:

$$3(a+b)(a+c)=(a+b+c)(2a+b+c).$$

Po rozwinięciu obu stron i redukcji wspólnych wyrazów dostajemy $a^2=b^2+c^2-bc.$ Z twierdzenia cosinusów dla kąta $A$ leżącego naprzeciw boku $a$: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.$ Porównanie równości daje $2bc\cos A=bc$. Ponieważ $b,c>0$, mamy $\cos A=\frac12$, a więc $A=60^\circ$.