MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 223

Niech krótsza przyprostokątna ma długość $x$, dłuższa $x\sqrt3$, a przeciwprostokątna $2x$. Długość dwusiecznej kąta prostego wynosi

$$d=\frac{x\cdot x\sqrt3\cdot\sqrt2}{x+x\sqrt3} =\frac{x\sqrt6}{1+\sqrt3}.$$

Z równania $d=\sqrt2$ dostajemy $x=(1+\sqrt3)/\sqrt3$, więc przeciwprostokątna ma długość

$$2x=\frac{2\sqrt3+6}{3}.$$

Ustawmy wierzchołek kąta prostego w początku układu, a końce przyprostokątnych w punktach $(a,0)$ i $(0,b)$. Przeciwprostokątna ma równanie $x/a+y/b=1$, a dwusieczna kąta prostego — $y=x$.

W punkcie przecięcia $x=y=t$, więc

$$t\left(\frac1a+\frac1b\right)=1, \qquad t=\frac{ab}{a+b}.$$

Odległość tego punktu od początku układu jest równa $t\sqrt2=\frac{ab\sqrt2}{a+b}$.

Przekątna tworzy z dwoma bokami trójkąt, którego dwa kąty mają miary $45^\circ$ i $60^\circ$; wynika to także z równoległości przeciwległych boków równoległoboku. Z twierdzenia sinusów stosunek odpowiadających boków jest równy

$$\frac{\sin45^\circ}{\sin60^\circ}=\frac{\sqrt6}{3}.$$

Jest to stosunek krótszego boku do dłuższego.

Niech przekątne przecinają się pod kątem $\theta$. Bok każdego z czterech trójkątów leżący na obwodzie czworokąta jest naprzeciw kąta $\theta$ albo $180^\circ-\theta$. Ponieważ wszystkie promienie opisane są równe $5$:

$$AB=BC=CD=DA=10\sin\theta.$$

Czworokąt jest zatem rombem. Przekątne rombu są prostopadłe, więc $\theta=90^\circ$ i każdy bok ma długość $10$.

Niech boki mają długości $n,n+1,n+2$, a najmniejszy kąt miarę $\alpha$; największy ma $2\alpha$. Z twierdzenia sinusów

$$\frac{n+2}{n}=\frac{\sin2\alpha}{\sin\alpha}=2\cos\alpha.$$

Trzeci kąt ma $180^\circ-3\alpha$, więc

$$\frac{n+1}{n}=\frac{\sin3\alpha}{\sin\alpha}=4\cos^2\alpha-1.$$

Po podstawieniu $\cos\alpha=(n+2)/(2n)$ otrzymujemy $n=4$.

Wysokość opuszczona na podstawę dzieli trójkąt na dwa trójkąty $30^\circ$–$60^\circ$–$90^\circ$. Jeśli ramię ma długość $l$, to wysokość wynosi $l\sin30^\circ=l/2$.

Z warunku $l+l/2=p$ mamy $l=2p/3$. Z twierdzenia sinusów dla ramienia leżącego naprzeciw kąta $30^\circ$: $l=2R\sin30^\circ=R$. Stąd $R=2p/3$.

Niech bok trójkąta ma długość $a$, a $M$ będzie środkiem podstawy. Prosta przecina jeden z pozostałych boków w punkcie $D$. Mały trójkąt przy końcu podstawy ma podstawę $a/2$. Z równań prostych otrzymujemy jego wysokość

$$h_D=\frac{\sqrt3a\tan\alpha}{2(\tan\alpha+\sqrt3)}.$$

Porównując jego pole z polem całego trójkąta $\sqrt3a^2/4$, dostajemy stosunek pola pozostałej części do pola małego trójkąta:

$$2\sqrt3\cot\alpha+1.$$

Trójkąty $ADB$ i $ADC$ mają tę samą wysokość opuszczoną z $A$ na $BC$, więc $BD:DC=1:2$. Przyjmijmy bok równobocznego trójkąta równy $a$ i współrzędne $B=(0,0)$, $C=(a,0)$, $A=(a/2,\sqrt3a/2)$. Wtedy $D=(a/3,0)$.

Dla wektorów $\overrightarrow{AB}=a(-1/2,-\sqrt3/2)$ i $\overrightarrow{AD}=a(-1/6,-\sqrt3/2)$:

$$\tan\angle DAB= \frac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}|} {\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}} =\frac{\sqrt3/6}{5/6}=\frac{\sqrt3}{5}.$$