MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 211

Niech przyprostokątne mają długości $2x$ i $x$. Wtedy przeciwprostokątna ma długość $x\sqrt5$, więc

$$R=\frac{x\sqrt5}{2}, \qquad r=\frac{3x-x\sqrt5}{2}.$$

Szukany iloraz pól kół jest równy

$$\frac{\pi R^2}{\pi r^2} =\left(\frac{\sqrt5}{3-\sqrt5}\right)^2 =\frac58(7+3\sqrt5).$$

Wybieramy niewielką odległość $d$. Po stronie wnętrza kąta konstruujemy prostą równoległą do $a$ w odległości $d$ oraz prostą równoległą do $b$ w tej samej odległości. Ich punkt przecięcia $P$ jest jednakowo odległy od obu ramion, więc leży na dwusiecznej.

Powtarzamy konstrukcję dla innej odległości $e$, otrzymując drugi punkt $Q$. Prosta $PQ$ jest szukanym fragmentem dwusiecznej i można dobrać $d,e$ tak małe, aby cała konstrukcja mieściła się na kartce.

Odcinki $AX$ i $AY$ są odcinkami stycznych poprowadzonych z tego samego punktu $A$ do okręgu, zatem $AX=AY$. Punkt $Y$ leży więc na okręgu o środku $A$ i promieniu $AX$.

Ponieważ $OX\perp AB$, trójkąt $AOX$ jest prostokątny, a $AO$ jest jego przeciwprostokątną. Stąd $AO>AX$, więc punkt $O$ nie leży na tym okręgu.

Wysokość dużego trójkąta wynosi $6\sqrt3$ cm, a promień okręgu wpisanego $2\sqrt3$ cm. Styczna równoległa do podstawy, która odcina mniejszy trójkąt, leży na wysokości $2r=4\sqrt3$ nad podstawą.

Wysokość małego trójkąta jest więc równa $2\sqrt3$, czyli stanowi $\frac13$ wysokości dużego. Jego bok ma długość $4$ cm, a pole $\frac{4^2\sqrt3}{4}=4\sqrt3\ \text{cm}^2$.

Niech przyprostokątne mają długości $a,b$, a przeciwprostokątna $c$. Średnica okręgu opisanego jest równa $c$, ponieważ $R=\frac c2$. Ponadto $r=\frac{a+b-c}{2}$, więc średnica okręgu wpisanego wynosi $2r=a+b-c$. Zatem

$$2R+2r=c+(a+b-c)=a+b.$$

Promień okręgu wpisanego wynosi $1$, a promień opisanego $2{,}5$, więc przeciwprostokątna ma długość $c=5$. Dla przyprostokątnych $a,b$:

$$1=\frac{a+b-5}{2},\qquad a+b=7,qquad a^2+b^2=25.$$

Stąd $2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=49-25=24$, czyli $ab=12$. Pole trójkąta jest równe $\frac{ab}{2}=6$.

Niech wierzchołek kąta będzie początkiem układu, jedno ramię osią $x$, a prosta $l$ ma równanie $x=d$. Środki obu kół leżą na dwusiecznej. Dla koła o promieniu $\rho$ współrzędna $x$ środka jest równa $\sqrt3\rho$.

Dla mniejszego koła $d-\sqrt3\rho=\rho$, a dla większego $\sqrt3 R-d=R$. Zatem

$$\frac{\rho}{R}=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}=2-\sqrt3.$$

Stosunek pól, mniejszego do większego, wynosi $(2-\sqrt3)^2=7-4\sqrt3$.

Prosta $CS$ jest dwusieczną kąta $C$, więc punkt $D$ jest środkiem łuku $AB$ nie zawierającego $C$. Niech kąty trójkąta mają miary $A,B,C$.

Mamy $\angle DBA=\angle DCA=\frac C2$ oraz $\angle ABS=\frac B2$, zatem $\angle DBS=\frac{B+C}{2}=90^\circ-\frac A2$. Ponieważ $C,S,D$ są współliniowe, a $\angle BSC=90^\circ+\frac A2$, także $\angle BSD=90^\circ-\frac A2$. Kąty $DBS$ i $BSD$ są równe, więc $BD=DS$.

Z twierdzenia o dwusiecznej stosunek boków przylegających do dzielonego kąta jest równy $3:1$; większym z nich musi być przeciwprostokątna. Przyjmijmy więc, że przeciwprostokątna ma długość $3x$, a przyległa przyprostokątna $x$. Druga przyprostokątna ma długość $2\sqrt2x$.

$$R=\frac{3x}{2},\qquad r=\frac{x+2\sqrt2x-3x}{2}=x(\sqrt2-1).$$

Stąd

$$\frac{\pi R^2}{\pi r^2} =\frac{9}{4(3-2\sqrt2)} =\frac{9(3+2\sqrt2)}4.$$

Oznaczmy $AD=x$, $DB=y$, $CD=h$ i $AB=c=x+y$. Z podobieństwa trójkątów powstałych po opuszczeniu wysokości:

$$AC=\sqrt{xc},\qquad BC=\sqrt{yc},\qquad h=\sqrt{xy}.$$

Promienie okręgów wpisanych w trzy trójkąty prostokątne są równe

$$r_{ABC}=\frac{\sqrt{xc}+\sqrt{yc}-c}{2},$$ $$r_{ADC}=\frac{x+h-\sqrt{xc}}2, \qquad r_{DBC}=\frac{y+h-\sqrt{yc}}2.$$

Po dodaniu i użyciu $x+y=c$ dostajemy $r_{ABC}+r_{ADC}+r_{DBC}=h=CD$.