MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 209

Odcinki styczne poprowadzone z tego samego wierzchołka są równe. Oznaczmy $AX=AZ=x$, $BX=BY=y$, $CY=CZ=z$. Z danych $x+y+z=24$ cm.

Obwód trójkąta jest równy

Z punktu $B$ odcinki styczne są równe, więc $BD=BE=4$ cm. Z wierzchołka kąta prostego $C$ odcinki do punktów styczności mają długość promienia: $CE=CF=2$ cm. Stąd $BC=6$ cm.

Niech $AC=x$. Ponieważ obwód trójkąta wynosi $24$, przeciwprostokątna $AB=18-x$. Z twierdzenia Pitagorasa $x^2+6^2=(18-x)^2$, skąd $x=8$ i $AB=10$.

Zatem $AD=AF=AB-BD=6$ cm. Obwód czworokąta $ADOF$ to $AD+DO+OF+FA=6+2+2+6=16$ cm.

Z równości odcinków stycznych boki trójkąta mają długości $6+14=20$ cm, $14+7=21$ cm i $7+6=13$ cm.

a) Obwód: $20+21+13=54$ cm.

b) Połowa obwodu wynosi $p=27$ cm. Ze wzoru Herona:

c) Ponieważ $P=rp$, promień okręgu wpisanego jest równy $r=126/27=14/3=4\frac23$ cm.

Połowa obwodu trójkąta wynosi $s=42/2=21$ cm. Pole trójkąta z okręgiem wpisanym spełnia $P=rs$, zatem $P=4\cdot21=84$ cm².

Przyprostokątne mają po $10$ cm, a przeciwprostokątna $10\sqrt2$ cm. Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny:

Długość okręgu wynosi $2\pi r=10\pi(2-\sqrt2)$ cm.

Z twierdzenia cosinusów podstawa trójkąta ma długość

czyli $c=18\sqrt3$. Pole wynosi $P=\frac12\cdot18^2\sin120^\circ=81\sqrt3$, a połowa obwodu $s=18+9\sqrt3=9(2+\sqrt3)$. Zatem

Dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $a,b$, przeciwprostokątnej $c$ i promieniu wpisanym $r$ zachodzi $r=\frac{a+b-c}{2}$. Przy $r=3$ i $c=20$ otrzymujemy $a+b=26$. Obwód wynosi więc $a+b+c=26+20=46$.

Krótsza przyprostokątna ma długość $3+3\sqrt3$. Odcinek przy wierzchołku kąta prostego jest równy promieniowi, więc $r=3$. Oznaczmy trzecią długość styczną przez $y$. Z twierdzenia Pitagorasa dla boków $r+3\sqrt3$, $r+y$, $3\sqrt3+y$ otrzymujemy

skąd $y=6+3\sqrt3$. Połowa obwodu jest sumą trzech różnych długości stycznych: $s=3+3\sqrt3+6+3\sqrt3=9+6\sqrt3$. Zatem obwód $2s=18+12\sqrt3=6(3+2\sqrt3)$.