MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 188

Ponieważ $\alpha$ jest ostry i $\cos\alpha=\frac1{10}$, mamy

$$\sin\alpha=\sqrt{1-\frac1{100}}=\frac{\sqrt{99}}{10}=\frac{3\sqrt{11}}{10}.$$

Korzystamy ze wzorów redukcyjnych:

$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha=\frac{3\sqrt{11}}{10},$$ $$\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha=-3\sqrt{11},$$ $$\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha=\frac{3\sqrt{11}}{10},$$ $$\operatorname{tg}(90^\circ-\alpha)=\operatorname{ctg}\alpha =\frac{1}{3\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{11}}{33}.$$

Oznaczmy długości boków prostokąta przez $a>b$ i długość przekątnej przez $d$. Ustawmy końce przekątnej w punktach $(0,0)$ i $(a,b)$. Rzut prostokątny wierzchołka $(a,0)$ na tę przekątną dzieli ją w stosunku wyznaczonym parametrem

$$\frac{a^2}{a^2+b^2}=\frac{a^2}{d^2}.$$

Drugi spodek ma parametr $\frac{b^2}{d^2}$. Skoro oba spodki dzielą przekątną na trzy równe części, to

$$\frac{a^2}{d^2}=\frac23, \qquad \frac{b^2}{d^2}=\frac13.$$

Dla kąta ostrego $\varphi$ między przekątnymi iloczyn skalarny wektorów $(a,b)$ i $(a,-b)$ daje

$$\cos\varphi=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}=\frac13.$$

Szukany kąt jest rozwarty: $\alpha=180^\circ-\varphi$. Zatem

$$\cos\alpha=-\frac13, \qquad \sin\alpha=\sqrt{1-\frac19}=\frac{2\sqrt2}{3},$$ $$\operatorname{tg}\alpha=-2\sqrt2, \qquad \operatorname{ctg}\alpha=-\frac{\sqrt2}{4}.$$

a) Niech ramię ma długość $x$, a podstawa $x+2$. Z obwodu:

$$2x+(x+2)=32, \qquad x=10.$$

Podstawa ma długość $12$, a wysokość

$$h=\sqrt{10^2-6^2}=8.$$

Pole wynosi

$$P=\frac12\cdot12\cdot8=48\ \text{cm}^2.$$

b) Niech podstawa ma długość $b$, a ramię $r$. Warunki mają postać

$$2r+b=21, \qquad r-2=1{,}2b.$$

Po podstawieniu otrzymujemy $b=5$ i $r=8$. Wysokość dzieli podstawę na połowy, więc

$$h=\sqrt{8^2-\left(\frac52\right)^2} =\frac{\sqrt{231}}2\ \text{cm}.$$

Ustawmy

$$A=(0,0),\quad B=(a,0),\quad C=\left(\frac a2,\frac{\sqrt3a}{2}\right).$$

Z rysunku $LM\perp AB$, więc dla $M=(m,0)$ punkt $L$ ma współrzędne $(m,\sqrt3m)$. Niech

$$N=(n,\sqrt3(a-n))$$

leży na boku $BC$.

Warunek $LN\perp AC$ daje

$$3a-2n-4m=0,$$

a warunek $MN\perp BC$:

$$3a-4n+m=0.$$

Rozwiązaniem układu jest

$$m=\frac a3, \qquad n=\frac{5a}{6}.$$

Stąd

$$LM=LN=MN=\frac a{\sqrt3}.$$

Trójkąt $MNL$ jest więc równoboczny, a jego pole wynosi

$$P_{MNL}=\frac{\sqrt3}{4}\left(\frac a{\sqrt3}\right)^2 =\frac{\sqrt3}{12}a^2.$$

Niech bok mniejszego trójkąta równobocznego ma długość $x$. Trójkąty są podobne, a mniejszy trójkąt ma połowę pola dużego, zatem

$$\frac{x^2}{8^2}=\frac12, \qquad x=4\sqrt2.$$

Obwód małego trójkąta jest równy

$$3x=12\sqrt2.$$

Trapez ma podstawy $8$ i $x$ oraz dwa ramiona długości $8-x$. Jego obwód wynosi

$$8+x+2(8-x)=24-x=24-4\sqrt2.$$

Kąt prosty znajduje się przy $B$. Ponieważ $AB=1$, pole trójkąta $ABD$ jest równe

$$\frac12\cdot AB\cdot BD=\frac{\sqrt3}{6},$$

stąd $BD=\frac{\sqrt3}{3}$.

Przyjmijmy $A=(0,0)$, $B=(1,0)$, $C=(1,1)$ i $D=\left(1,\frac{\sqrt3}{3}\right)$. Wektory

$$\overrightarrow{AC}=(1,1), \qquad \overrightarrow{AD}=\left(1,\frac{\sqrt3}{3}\right)$$

wyznaczają kąt $CAD$. Z wzoru na sinus kąta między wektorami:

$$\sin\angle CAD =\frac{\left|1\cdot\frac{\sqrt3}{3}-1\cdot1\right|} {\sqrt2\sqrt{1+\frac13}} =\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.$$

Wysokość trapezu jest składową prostopadłą przekątnej do podstaw:

$$h=15\cdot0{,}64=9{,}6.$$

Jeśli długości podstaw oznaczymy przez $a$ i $b$, to

$$96=\frac{a+b}{2}\cdot9{,}6.$$

Zatem

$$a+b=\frac{192}{9{,}6}=20.$$