MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 178

Korzystamy ze wzoru $P=\frac12ab\sin\alpha$.

a)

$P=\frac12\cdot10\cdot8\cdot\sin60^\circ=20\sqrt3.$

b)

$P=\frac12\cdot4\cdot7\cdot\sin150^\circ=7.$

c)

$P=\frac12\cdot9\cdot12\cdot\sin135^\circ=27\sqrt2.$

Korzystamy ze wzoru $P=\frac12ab\sin\alpha$.

a)

$P=\frac12\cdot6\cdot7\cdot\sin38^\circ\approx12{,}9.$

b)

$P=\frac12\cdot2\cdot8\cdot\sin74^\circ\approx7{,}7.$

Z rysunku $CD\perp AB$ i $CD=10$. W trójkątach prostokątnych:

$AD=\frac{10}{\tan44^\circ},\qquad DB=\frac{10}{\tan39^\circ}.$

Zatem

$P=\frac12\cdot(AD+DB)\cdot CD=50\left(\frac1{\tan44^\circ}+\frac1{\tan39^\circ}\right)\approx113{,}52.$

Ze wzoru na pole:

$45=\frac12\cdot AB\cdot15\cdot\sin60^\circ.$

Stąd

$AB=\frac{90}{15\sin60^\circ}=4\sqrt3\ \text{cm}.$

Korzystamy ze wzoru Herona $P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

a) $p=\frac{13}{2}$, zatem $P=\frac{\sqrt{455}}4$.

b) $p=\frac{17}{2}$, zatem $P=\frac{3\sqrt{119}}4$.

c) $p=\frac{19}{2}$, zatem $P=\frac{\sqrt{1463}}4$.

a) Z $\tan\alpha=\frac h{15}=0{,}6$ mamy $h=9$, więc $P=\frac12\cdot15\cdot9=67{,}5$.

b) Z $\sin\beta=\frac{10}{c}=\frac23$ mamy $c=15$. Druga przyprostokątna ma długość $5\sqrt5$, więc $P=25\sqrt5$.

c) Jedna przyprostokątna ma długość $8\sqrt6\cdot\frac{\sqrt3}{3}=8\sqrt2$, a druga $16$. Stąd $P=64\sqrt2$.

Przyprostokątne mają długości $8\sin15^\circ$ i $8\cos15^\circ$. Zatem

$P=\frac12\cdot8\sin15^\circ\cdot8\cos15^\circ=16\sin30^\circ=8.$