MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 302

Przeciwprostokątna ma długość $15$. Dwusieczna kąta przy końcu boku $9$ dzieli przeciwległą przyprostokątną $12$ w stosunku $9:15=3:5$, więc jej krótszy odcinek ma długość $\frac92$. Z Pitagorasa długość dwusiecznej to

$\sqrt{9^2+\left(\frac92\right)^2}=\frac92\sqrt5.$

Druga dwusieczna odcina na boku $9$ odcinek długości $4$, zatem ma długość $\sqrt{12^2+4^2}=4\sqrt{10}$.

Dwusieczna kąta ostrego w trójkącie prostokątnym równoramiennym dzieli przeciwległą przyprostokątną w stosunku $\sqrt2:1$. Jeżeli odcinek $\sqrt2$ jest dłuższą częścią, druga ma długość $1$; jeżeli jest krótszą, druga ma długość $2$.

Korzystamy z $AB\parallel CD$ i prowadzimy od $A$ promień dzielący kąt między $AB$ i $AD$ na połowy. Porównanie odległości tego promienia od obu ramion kąta oraz długości $AB=12$, $AD=4$, $BC=CD=6$ pokazuje, że promień przecina prostą $CD$ w punkcie leżącym między $C$ i $D$; nie dochodzi do boku $BC$.

Z Pitagorasa $AC=\sqrt{18^2+24^2}=30$. Jeżeli dwusieczna przecina $BC$ w $D$, to

$BD:DC=AB:AC=18:30=3:5.$

Ponieważ $BC=24$, otrzymujemy $BD=9$. Bok $BC$ leży na prostej $x=18$, więc szukany punkt ma współrzędne $(18,9)$.

Dla trójkąta równoramiennego o podstawie $a$ i ramionach $b$ odległość między punktami przecięcia dwusiecznych kątów przy podstawie z ramionami wynosi $\frac{ab}{a+b}$. Dla obu danych trójkątów jest to

$\frac{7\cdot13}{7+13}=\frac{91}{20}=4{,}55.$

Wysokość trójkąta równobocznego wynosi $\sqrt3$, a $AD=DB=1$. W trójkącie $ACD$ dwusieczna kąta przy $C$ daje

$AE:ED=AC:CD=2:\sqrt3.$

Stąd $ED=\frac{\sqrt3}{2+\sqrt3}=2\sqrt3-3$. Symetrycznie $EF=2ED$. Zatem

$P_{EFC}=\frac12\cdot EF\cdot\sqrt3=(2\sqrt3-3)\sqrt3=6-3\sqrt3.$

Przeciwprostokątna $T_1$ ma długość $c=\sqrt{a^2+b^2}$. Dwusieczna kąta prostego dzieli ją na odcinki

$x=\frac{ac}{a+b},\qquad y=\frac{bc}{a+b}.$

Są to przyprostokątne $T_2$, więc jego przeciwprostokątna wynosi

a) Z zaznaczonych równych kątów oraz kąta przy $A$ wynika podobieństwo odpowiednich trójkątów z cechy kąt–kąt. Równoważnie, oznaczając połowę kąta przy $C$ przez $\alpha$, mamy $\angle B=\alpha$ i porównujemy pozostałe kąty.

b) Z zależności kątowych i twierdzenia sinusów dla trójkąta o bokach $AC=9$, $BC=7$ otrzymujemy

W każdym rysunku stosujemy twierdzenie o dwusiecznej kolejno do zagnieżdżonych trójkątów wyznaczonych przez sąsiednie półproste. Ilorazy odcinków na prawym boku są wtedy równe ilorazom odpowiadających im odcinków wychodzących ze wspólnego wierzchołka. Po pomnożeniu kolejnych równości skracają się odcinki pośrednie i zostaje:

a) $\frac ar\cdot\frac p b=\frac xz$, czyli $apz=brx$;

b) $\frac az\cdot\frac xb=\frac ps$, czyli $asx=bpz$.