MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 300

Z twierdzenia o dwusiecznej

$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac84=2.$

Dlatego dla $AC=5$ mamy $AB=10$, a dla $AC=a$ otrzymujemy $AB=2a$.

Niech $BD=x$, wtedy $CD=9-x$. Z twierdzenia o dwusiecznej

$\frac{x}{9-x}=\frac{AB}{AC}=\frac{10}{8}=\frac54.$

Równanie $4x=5(9-x)$ daje $x=5$, a więc $CD=4$.

W każdym podpunkcie stosujemy $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$.

a) $\frac85=\frac{20}{AC}$, więc $AC=12{,}5$.

b) $\frac6{2{,}5}=\frac{AB}{5}$, więc $AB=12$.

c) $\frac{10}{DC}=\frac{25}{18}$, więc $DC=7{,}2$.

d) $\frac{BD}{12}=\frac{30}{24}$, więc $BD=15$.

Przekątna $DB$ jest dwusieczną zarówno kąta przy $D$, jak i kąta przy $B$. Twierdzenie o dwusiecznej w trójkątach $DCB$ i $DAB$, z punktem $E$ na $AC$, daje ten sam iloraz $CE:EA$:

Bok przecięty dwusieczną ma długość $3+4=7$. Dwa pozostałe boki są w stosunku $3:4$, więc oznaczamy je $3t,4t$. Z obwodu

$7+3t+4t=35$

otrzymujemy $t=4$, a zatem boki mają długości $7,12,16$ cm.

Bok przecięty ma długość $10$, a boki przy dwusiecznej są w stosunku $4:6=2:3$, więc mają długości $2t,3t$. Nierówności trójkąta dają

$2t+10>3t,\qquad 2t+3t>10,$

czyli $2<t<10$. Obwód $L=10+5t$ spełnia zatem $20<L<60$.

Ponieważ $AD\parallel BC$, kąt między $AQ$ i $AD$ jest równy kątowi między $AQ$ i $BQ$. Dwusieczna daje więc $\angle BAQ=\angle AQB$, a zatem $AB=BQ=4$. Ponadto $AD=BC=4+5=9$. Obwód wynosi $2(4+9)=26$.

Mamy $\angle BAD=60^\circ$, więc dwusieczna tworzy z $AB$ kąt $30^\circ$. Ponieważ $BP\parallel AD$, w trójkącie $ABP$ kąty mają miary $30^\circ,120^\circ,30^\circ$. Z twierdzenia sinusów

$\frac{AP}{\sin120^\circ}=\frac{AB}{\sin30^\circ},$

stąd $AP=3\sqrt3$.

Przeciwprostokątna ma długość $13$. Z twierdzenia o dwusiecznej $BP:PC=AB:AC=5:12$, więc