MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 283

W trójkącie prostokątnym środek $D$ przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego, więc $AD=BD=CD$. Ponieważ kąt przy $C$ ma $60^\circ$, trójkąt $ACD$ jest równoboczny, zatem $AC=BD$. Prosta $DE$ jest symetralną $BC$, więc $EB=EC$. Trójkąty $EBD$ i $ECA$ są prostokątne, mają równe przeciwprostokątne $EB=EC$ oraz przyprostokątne $BD=AC$; są więc przystające.

Oznaczmy wektory kolejnych boków równoległoboku przez $\vec u$ i $\vec v$, a obrót o $60^\circ$ przez $R$. Po zapisaniu wierzchołków dobudowanych trójkątów jako końców wektorów $R\vec u$ i $R\vec v$ otrzymujemy, że wektory $\overrightarrow{DE}$, $\overrightarrow{EF}$ i $\overrightarrow{FD}$ przechodzą jeden w drugi przez obrót $R$. Mają więc równe długości, a kąty między nimi mają po $60^\circ$.

Niech bok każdego kwadratu ma długość $x$. Z podobieństwa przekrojów równoległych do podstawy wynika, że szerokość trójkąta maleje o $x$ przy wzroście wysokości o $x$: na wysokościach $x$ i $2x$ wynosi odpowiednio $2x$ i $x$. Stąd podstawa i wysokość dużego trójkąta mają po $3x$. Pole trójkąta to $\tfrac12(3x)(3x)=\tfrac92x^2$, a suma pól trzech kwadratów to $3x^2$.

Przyjmijmy wektory boków równoległoboku $\vec u,\vec v$. Środki zewnętrznych kwadratów mają względem środków odpowiednich boków przesunięcia równe połowom wektorów $\vec u,\vec v$ obróconych o $90^\circ$. Po odjęciu współrzędnych kolejnych środków dostajemy cztery wektory tej samej długości, a każdy następny jest obrotem poprzedniego o $90^\circ$. Łączący je czworokąt jest więc kwadratem.

Wierzchołek zewnętrznego trójkąta prostokątnego równoramiennego zbudowanego na wektorze $\vec u$ otrzymujemy, przesuwając środek tego odcinka o $\tfrac12R\vec u$, gdzie $R$ oznacza obrót o $90^\circ$. Zapisując tak cztery wierzchołki dla boków równoległoboku, stwierdzamy, że kolejne wektory je łączące są równej długości i kolejne są obrócone o $90^\circ$. Powstaje kwadrat.

Proste prowadzone przez środek trójkąta równobocznego równolegle do jego boków wycinają trójkąty równoboczne. Środek trójkąta równobocznego jest jednakowo odległy od wszystkich trzech boków, więc wysokości wyciętych trójkątów są równe. Trójkąty równoboczne o równej wysokości mają równe boki, a zatem są przystające.

Obrót kwadratu o $90^\circ$ wokół jego środka przeprowadza jedną z danych prostych w drugą i cyklicznie przeprowadza każdy punkt przecięcia w następny. Zachowuje odległości, więc wszystkie cztery boki otrzymanego czworokąta są równe. Ten sam obrót pokazuje, że każdy kolejny bok jest prostopadły do poprzedniego. Czworokąt jest zatem kwadratem.

a) Dla całkowitych boków $a\le b\le c$ i obwodu $10$ warunek $a+b>c$ spełniają tylko zestawy $(2,4,4)$ i $(3,3,4)$. Są więc dwa nieprzystające trójkąty.

b) Najmniejszy zestaw trzech różnych dodatnich liczb całkowitych spełniający nierówność trójkąta to $(2,3,4)$, którego obwód wynosi $9$. Dla mniejszego obwodu nierówność trójkąta nie może zachodzić.